幂零群

在群论里，幂零群为一拥有几乎可换之特殊性质的群，经由交换子（[x,y] = x^-1y^-1xy）的重复应用。幂零群诞生于伽罗瓦理论和对群的分类之中。其对李群的分类亦具有很重要的功用。

定义

首先先定义群G的降中央列，其为一系列的群G = A₀、A₁、A₂、...、A_i，其中每个A_i+1 = [A_i, G]为所有由A_i中的x及G中的y所算出的所有交换子[x,y]所产生出来的G的子群。因此，A₁=[G,G]=G¹为G的导群，而A₂ = [G¹, G]，以此类推。

若G为可换的，则[G,G] = E，即为其平凡子群。将此一概念延伸，则可定义一个群G为幂零的，若其存在一自然数n使得A_n为平凡的。若n为可使得A_n的最小自然数，则称此一群G为n级幂零。每一个阿贝尔群都是1级幂零，除了平凡群之外，其为0级幂零。若一个群为至少m级幂零，则有时称其为零m群。

做为证明此一名词幂零使用的正当性，先取一幂零群G及其内一元素g并定义一函数f: G → G 为f(x) = [x,g]。则这一函数为幂零的，因为其存在一自然数n使得fⁿ，即f的n次递回，将每一个G内的元素x映射至单位元素。

另一个定义幂零群的等价方法为采取升中央列之方式，其为一系列的群E = Z₀、Z₁、Z₂、...、Z_i，其中每个接续的群之定义为：

$Z_{i+1}=\{x\in G|\forall y\in G:[x,y]\in Z_{i}\}$

在此定义下，Z₁为G的中心，且对于其每个接续的群而言，其商群Z_i+1/Z_i皆为G/Z_i的中心。对一阿贝尔群来说，Z₁简单为G；而一个群被称为n级幂零，若有一最小的n使得Z_n = G。

上述两种定义为等价的：降中央列会到达其平凡子群E若且唯若其升中央列可以达到G；此外，其n最小值在两者中也会是一样的。

例子

如上面所述，每一个阿贝尔群均为幂零。

一个小的非阿贝尔群之例子为四元群Q₈。其有两个元素{1, −1}所组成的中心，且其降中央列为{1}、{1, −1}、Q₈；所以其为2级幂零。实际上，每个有限多个有限p-群的直积皆是幂零的。

海森堡群为非阿贝尔幂零群的另一个例子。

性质

当每个接续的商群Z_i+1/Z_i皆为可换的，其序列为有限个的，且每一个幂零群都为一具有较简单结构的可解群。

每一个n级幂零群的子群均为至少n级幂零；另外，若f为n级幂零群的同态，f的值域则为至少n级幂零的。

下列的叙述在有限群中均为等价，表现出一个幂零性的有用性质：

• G为一幂零群。
• 若H为G的纯子群，则H为N(H)（G内H之正规化子）的纯正规子群。
• 每一个G的最大纯子群均为正规的。
• G为其西洛子群的直积。

最后一个叙述可以被延伸至无限群的状况下：若G为一幂零群，则G的每一个西洛子群G_p都是正规的，且其西洛子群的直积会是G内有限目的所有元素所组成之子群。（见挠子群）。