冪零群

在群論裏，冪零群為一擁有幾乎可換之特殊性質的群，經由交換子（[x,y] = x^-1y^-1xy）的重複應用。冪零群誕生於伽羅瓦理論和對群的分類之中。其對李群的分類亦具有很重要的功用。

定義

首先先定義群G的降中央列，其為一系列的群G = A₀、A₁、A₂、...、A_i，其中每個A_i+1 = [A_i, G]為所有由A_i中的x及G中的y所算出的所有交換子[x,y]所產生出來的G的子群。因此，A₁=[G,G]=G¹為G的導群，而A₂ = [G¹, G]，以此類推。

若G為可換的，則[G,G] = E，即為其平凡子群。將此一概念延伸，則可定義一個群G為冪零的，若其存在一自然數n使得A_n為平凡的。若n為可使得A_n的最小自然數，則稱此一群G為n級冪零。每一個阿貝爾群都是1級冪零，除了平凡群之外，其為0級冪零。若一個群為至少m級冪零，則有時稱其為零m群。

做為證明此一名詞冪零使用的正當性，先取一冪零群G及其內一元素g並定義一函數f: G → G 為f(x) = [x,g]。則這一函數為冪零的，因為其存在一自然數n使得fⁿ，即f的n次遞歸，將每一個G內的元素x映射至單位元素。

另一個定義冪零群的等價方法為採取升中央列之方式，其為一系列的群E = Z₀、Z₁、Z₂、...、Z_i，其中每個接續的群之定義為：

$Z_{i+1}=\{x\in G|\forall y\in G:[x,y]\in Z_{i}\}$

在此定義下，Z₁為G的中心，且對於其每個接續的群而言，其商群Z_i+1/Z_i皆為G/Z_i的中心。對一阿貝爾群來說，Z₁簡單為G；而一個群被稱為n級冪零，若有一最小的n使得Z_n = G。

上述兩種定義為等價的：降中央列會到達其平凡子群E當且僅當其升中央列可以達到G；此外，其n最小值在兩者中也會是一樣的。

例子

如上面所述，每一個阿貝爾群均為冪零。

一個小的非阿貝爾群之例子為四元群Q₈。其有兩個元素{1, −1}所組成的中心，且其降中央列為{1}、{1, −1}、Q₈；所以其為2級冪零。實際上，每個有限多個有限p-群的直積皆是冪零的。

海森堡群為非阿貝爾冪零群的另一個例子。

性質

當每個接續的商群Z_i+1/Z_i皆為可換的，其序列為有限個的，且每一個冪零群都為一具有較簡單結構的可解群。

每一個n級冪零群的子群均為至少n級冪零；另外，若f為n級冪零群的同態，f的值域則為至少n級冪零的。

下列的敘述在有限群中均為等價，表現出一個冪零性的有用性質：

• G為一冪零群。
• 若H為G的純子群，則H為N(H)（G內H之正規化子）的純正規子群。
• 每一個G的最大純子群均為正規的。
• G為其西洛子群的直積。

最後一個敘述可以被延伸至無限群的狀況下：若G為一冪零群，則G的每一個西洛子群G_p都是正規的，且其西洛子群的直積會是G內有限目的所有元素所組成之子群。（見撓子群）。