导出拓扑

在拓扑学与相关数学领域里，导出拓扑（英语：induced topology，或译诱导拓扑）是指透过拓扑空间与某个集合间的函数，所导出该集合之拓扑。该集合可能是函数的定义域或对应域。

定义

导出拓扑的定义如下：

令 X₀、X₁ 为集合，

f:X_{0}\to X_{1}

为由 X₀ 映射至 X₁ 的函数。

若

\tau _{0}

为 X₀ 上的拓扑，则由

f

在 X₁ 上导出之拓扑为

\{U_{1}\subseteq X_{1}|f^{-1}(U_{1})\in \tau _{0}\}

。

若

\tau _{1}

为 X₁ 上的拓扑，则由

f

在 X₀ 上导出之拓扑为

\{f^{-1}(U_{1})|U_{1}\in \tau _{1}\}

。

可以看到，上述两个定义都是使用原像，因为原像会维持集合的交集与联集，但像则不一定可以。举例来说，考虑一具有拓扑 $\{\{-2,-1\},\{1,2\}\}$ 之集合 $X_{0}=\{-2,-1,1,2\}$ 、一集合 $X_{1}=\{-1,0,1\}$ ，以及一函数 $f:X_{0}\to X_{1}$ ，使得 $f(-2)=-1,f(-1)=0,f(1)=0,f(2)=1$ 。可知， $\tau _{1}=\{f(U_{0})|U_{0}\in \tau _{0}\}$ 不会形成一个拓扑，因为 $\{\{-1,0\},\{0,1\}\}\subseteq \tau _{1}$ ，但 $\{-1,0\}\cap \{0,1\}\notin \tau _{1}$ 。