導出拓撲

拓撲學與相關數學領域裡,導出拓撲(英語:induced topology,或譯誘導拓撲)是指透過拓撲空間與某個集合間的函數,所導出該集合之拓撲。該集合可能是函數的定義域對應域

定義

導出拓撲的定義如下:

令 X0、X1 為集合,{\displaystyle f:X_{0}\to X_{1}} 為由 X0 映射至 X1 的函數。
{\displaystyle \tau _{0}} 為 X0 上的拓撲,則 {\displaystyle f} 在 X1 上導出之拓撲{\displaystyle \{U_{1}\subseteq X_{1}|f^{-1}(U_{1})\in \tau _{0}\}}
{\displaystyle \tau _{1}} 為 X1 上的拓撲,則 {\displaystyle f} 在 X0 上導出之拓撲{\displaystyle \{f^{-1}(U_{1})|U_{1}\in \tau _{1}\}}

可以看到,上述兩個定義都是使用原像,因為原像會維持集合的交集聯集,但則不一定可以。舉例來說,考慮一具有拓撲 {\displaystyle \{\{-2,-1\},\{1,2\}\}} 之集合 {\displaystyle X_{0}=\{-2,-1,1,2\}}、一集合 {\displaystyle X_{1}=\{-1,0,1\}},以及一函數 {\displaystyle f:X_{0}\to X_{1}},使得 {\displaystyle f(-2)=-1,f(-1)=0,f(1)=0,f(2)=1}。可知,{\displaystyle \tau _{1}=\{f(U_{0})|U_{0}\in \tau _{0}\}} 不會形成一個拓撲,因為 {\displaystyle \{\{-1,0\},\{0,1\}\}\subseteq \tau _{1}},但 {\displaystyle \{-1,0\}\cap \{0,1\}\notin \tau _{1}}


下面為導出拓撲的等價定義:

由 f 在 X1 上導出之拓撲   為使得 f 是連續最精細拓撲。此一拓撲為 X1終拓撲之一例。
由 f 在 X0 上導出之拓撲   為使得 f 是連續的最粗糙拓撲。此一拓撲為 X0初拓撲之一例。

例子

參考資料

  • Hu, Sze-Tsen. Elements of general topology. Holden-Day. 1969. 

另見