控制体积 是流体力学 及热力学 中，为一物理现象建立数学模型 时会用到的一个名词。在惯性参考系 中，控制体积可能是一固定的区域，或者是随著流体 运动。控制体积的表面也称为控制表面[ 1]
稳态 时，控制体积可以视为一个其中流体体积为定值的任意空间。流体可能会流进或流出控制体积，但流入控制体积的流体质量等于流出控制体积的流体质量。在稳态且没有功或能量的交换，控制体积内的能量也是一个定值。控制体积的概念类似古典力学的自由体图 。
一般来说，若要了解科学定律 在特定系统下的作用，可以先应用在小的控制体积内。控制体积本身没有特别之处，只是系统的一小部份，让物理定律可以应用的范围。这就产生了体积相关的数学公式。
科学规律在控制空间内依一定的方式运作，因为控制空间没有特别之处，因此可以假设科学规律在系统的其他空间也会以相同方式运作。可以发展数学模型 对应单点公式，描述科学规律在整个系统内的行为
在连续介质力学 中，守恒定律 （例如纳维-斯托克斯方程 ）是以积分形式出现，因此可以适用在所有的体积里。寻找独立于控制空间的方程式，有助于简化积分的符号。控制空间可以是静止的，也可以依特定速度移动[ 2]
连续介质力学的运算中，常需要将时间导数 运算子
d
/
d
t
{\displaystyle d/dt\;}
物质导数 运算子
D
/
D
t
{\displaystyle D/Dt}
假设有小虫和控制体积一起移动，其中有随时间和位置而变化的纯量场 （例如压力）：
p
=
p
(
t
,
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle p=p(t,x,y,z)\;}
若小虫在
t
{\displaystyle t\;}
t
+
d
t
{\displaystyle t+dt\;}
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,y,z)\;}
(
x
+
d
x
,
y
+
d
y
,
z
+
d
z
)
,
{\displaystyle (x+dx,y+dy,z+dz),\;}
d
p
=
∂
p
∂
t
d
t
+
∂
p
∂
x
d
x
+
∂
p
∂
y
d
y
+
∂
p
∂
z
d
z
{\displaystyle dp={\frac {\partial p}{\partial t}}dt+{\frac {\partial p}{\partial x}}dx+{\frac {\partial p}{\partial y}}dy+{\frac {\partial p}{\partial z}}dz}
（全微分 ）。若小虫移动的速度 如下
v
=
(
v
x
,
v
y
,
v
z
)
,
{\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z}),}
v
d
t
=
(
v
x
d
t
,
v
y
d
t
,
v
z
d
t
)
,
{\displaystyle \mathbf {v} dt=(v_{x}dt,v_{y}dt,v_{z}dt),}
d
p
=
∂
p
∂
t
d
t
+
∂
p
∂
x
v
x
d
t
+
∂
p
∂
y
v
y
d
t
+
∂
p
∂
z
v
z
d
t
=
(
∂
p
∂
t
+
∂
p
∂
x
v
x
+
∂
p
∂
y
v
y
+
∂
p
∂
z
v
z
)
d
t
=
(
∂
p
∂
t
+
v
⋅
∇
p
)
d
t
.
{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}dp&={\frac {\partial p}{\partial t}}dt+{\frac {\partial p}{\partial x}}v_{x}dt+{\frac {\partial p}{\partial y}}v_{y}dt+{\frac {\partial p}{\partial z}}v_{z}dt\\&=\left({\frac {\partial p}{\partial t}}+{\frac {\partial p}{\partial x}}v_{x}+{\frac {\partial p}{\partial y}}v_{y}+{\frac {\partial p}{\partial z}}v_{z}\right)dt\\&=\left({\frac {\partial p}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla p\right)dt.\\\end{alignedat}}}
其中
∇
p
{\displaystyle \nabla p}
p 的gradient 。因此
d
d
t
=
∂
∂
t
+
v
⋅
∇
.
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla .}
若小虫是和流场一起移动，上述的公式仍适用，不过速度向量v 会改为流速 向量u 。
在压力变化的公式中，最后一个括弧内的公式即为压力纯量的物质导数。
因为压力p是任意的纯量场，因此物质导数运算子可以如下式表示：
D
D
t
=
∂
∂
t
+
u
⋅
∇
.
{\displaystyle {\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla .}
^ G.J. Van Wylen and R.E. Sonntag (1985), Fundamentals of Classical Thermodynamics , Section 2.1 (3rd edition), John Wiley & Sons, Inc., New York ISBN 0-471-82933-1
^
Nangia, Nishant; Johansen, Hans; Patankar, Neelesh A.; Bhalla, Amneet Pal S. A moving control volume approach to computing hydrodynamic forces and torques on immersed bodies. Journal of Computational Physics. 2017, 347 : 437–462. Bibcode:2017JCoPh.347..437N S2CID 37560541 arXiv:1704.00239 doi:10.1016/j.jcp.2017.06.047
. doi:10.1016/j.jcp.2017.06.047.
