控制體積 是流體力學 及熱力學 中，為一物理現象建立數學模型 時會用到的一個名詞。在慣性參考系 中，控制體積可能是一固定的區域，或者是隨著流體 運動。控制體積的表面也稱為控制表面[ 1]
穩態 時，控制體積可以視為一個其中流體體積為定值的任意空間。流體可能會流進或流出控制體積，但流入控制體積的流體質量等於流出控制體積的流體質量。在穩態且沒有功或能量的交換，控制體積內的能量也是一個定值。控制體積的概念類似古典力學的自由體圖 。
一般來說，若要了解科學定律 在特定系統下的作用，可以先應用在小的控制體積內。控制體積本身沒有特別之處，只是系統的一小部份，讓物理定律可以應用的範圍。這就產生了體積相關的數學公式。
科學規律在控制空間內依一定的方式運作，因為控制空間沒有特別之處，因此可以假設科學規律在系統的其他空間也會以相同方式運作。可以發展數學模型 對應單點公式，描述科學規律在整個系統內的行為
在連續介質力學 中，守恆定律 （例如納維-斯托克斯方程 ）是以積分形式出現，因此可以適用在所有的體積裡。尋找獨立於控制空間的方程式，有助於簡化積分的符號。控制空間可以是靜止的，也可以依特定速度移動[ 2]
連續介質力學的運算中，常需要將時間導數 運算子
d
/
d
t
{\displaystyle d/dt\;}
物質導數 運算子
D
/
D
t
{\displaystyle D/Dt}
假設有小蟲和控制體積一起移動，其中有隨時間和位置而變化的純量場 （例如壓力）：
p
=
p
(
t
,
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle p=p(t,x,y,z)\;}
若小蟲在
t
{\displaystyle t\;}
t
+
d
t
{\displaystyle t+dt\;}
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,y,z)\;}
(
x
+
d
x
,
y
+
d
y
,
z
+
d
z
)
,
{\displaystyle (x+dx,y+dy,z+dz),\;}
d
p
=
∂
p
∂
t
d
t
+
∂
p
∂
x
d
x
+
∂
p
∂
y
d
y
+
∂
p
∂
z
d
z
{\displaystyle dp={\frac {\partial p}{\partial t}}dt+{\frac {\partial p}{\partial x}}dx+{\frac {\partial p}{\partial y}}dy+{\frac {\partial p}{\partial z}}dz}
（全微分 ）。若小蟲移動的速度 如下
v
=
(
v
x
,
v
y
,
v
z
)
,
{\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z}),}
v
d
t
=
(
v
x
d
t
,
v
y
d
t
,
v
z
d
t
)
,
{\displaystyle \mathbf {v} dt=(v_{x}dt,v_{y}dt,v_{z}dt),}
d
p
=
∂
p
∂
t
d
t
+
∂
p
∂
x
v
x
d
t
+
∂
p
∂
y
v
y
d
t
+
∂
p
∂
z
v
z
d
t
=
(
∂
p
∂
t
+
∂
p
∂
x
v
x
+
∂
p
∂
y
v
y
+
∂
p
∂
z
v
z
)
d
t
=
(
∂
p
∂
t
+
v
⋅
∇
p
)
d
t
.
{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}dp&={\frac {\partial p}{\partial t}}dt+{\frac {\partial p}{\partial x}}v_{x}dt+{\frac {\partial p}{\partial y}}v_{y}dt+{\frac {\partial p}{\partial z}}v_{z}dt\\&=\left({\frac {\partial p}{\partial t}}+{\frac {\partial p}{\partial x}}v_{x}+{\frac {\partial p}{\partial y}}v_{y}+{\frac {\partial p}{\partial z}}v_{z}\right)dt\\&=\left({\frac {\partial p}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla p\right)dt.\\\end{alignedat}}}
其中
∇
p
{\displaystyle \nabla p}
p 的gradient 。因此
d
d
t
=
∂
∂
t
+
v
⋅
∇
.
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla .}
若小蟲是和流場一起移動，上述的公式仍適用，不過速度向量v 會改為流速 向量u 。
在壓力變化的公式中，最後一個括弧內的公式即為壓力純量的物質導數。
因為壓力p是任意的純量場，因此物質導數運算子可以如下式表示：
D
D
t
=
∂
∂
t
+
u
⋅
∇
.
{\displaystyle {\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla .}
^ G.J. Van Wylen and R.E. Sonntag (1985), Fundamentals of Classical Thermodynamics , Section 2.1 (3rd edition), John Wiley & Sons, Inc., New York ISBN 0-471-82933-1
^
Nangia, Nishant; Johansen, Hans; Patankar, Neelesh A.; Bhalla, Amneet Pal S. A moving control volume approach to computing hydrodynamic forces and torques on immersed bodies. Journal of Computational Physics. 2017, 347 : 437–462. Bibcode:2017JCoPh.347..437N S2CID 37560541 arXiv:1704.00239 doi:10.1016/j.jcp.2017.06.047
. doi:10.1016/j.jcp.2017.06.047.
