模的支撑

在 交换代数 中， 一个交换环上的 模 $M$ 的支撑是一个集合，它包含所有 $A$ 上的理想 ${\mathfrak {p}}$，使得$M_{\mathfrak {p}}\neq 0$.  通常可以记为 $\operatorname {Supp} (M)$. 由定义，支撑是 $A$ 的谱的子集。

性质

• $M=0$ 当且仅当它的支撑是空集。

• 令 $0\to M'\to M\to M''\to 0$ 是一个 $A$ 模正合序列. 那么

  $\operatorname {Supp} (M)=\operatorname {Supp} (M')\cup \operatorname {Supp} (M'').$

注意这里的并集不一定是不相交的.

• 如果 $M$ 是子模 $M_{\lambda }$ 的和, 那么

$\operatorname {Supp} (M)=\bigcup _{\lambda }\operatorname {Supp} (M_{\lambda }).$

• 如果 $M$ 是一个有限生成 $A$ 模，那么 $\operatorname {Supp} (M)$ 是的所有的包含 $M$ 的消灭元所构成的素理想的集合. 特别的, 它在 $\operatorname {Spec} (A)$ 的 Zariski拓扑结构 中是闭的.

• 如果 $M,N$ 都是有限生成 $A$-模，那么

  $\operatorname {Supp} (M\otimes _{A}N)=\operatorname {Supp} (M)\cap \operatorname {Supp} (N).$

• 如果 $M$ 是一个有限生成模并且 $I$ 是 $A$ 的理想，那么 $\operatorname {Supp} (M/IM)$ 是包含 $I+\operatorname {Ann} (M).$ 素理想的集合. 这也就是

$V(I)\cap \operatorname {Supp} (M)$.

准凝聚层的支撑

如果 $F$ 是概形 X上的一个 准凝聚层, 层$F$的支撑是点集 x∈X 使得 stalk $F$_x 非零. 这个定义与空间 X上的 函数的支撑是一致的, 这就是我们使用"支撑"这个词的动机. 模上层的支撑的大部分性质都可以一字一句地推广到准凝聚层上来. 例如, 凝聚层 (更一般地, 一个有限型的层) 是空间 X的闭集.

如果 $M$ 是一个 $A$-模, 那么 $M$ 作为模的支撑等价于 $M$ 诱导的仿射概形 $\operatorname {Spec} (A)$ 上的准凝聚层 ${\tilde {M}}$ 的支撑. 另外, 如果 $\{U_{\alpha }=\operatorname {Spec} (A_{\alpha })\}$ 是概形 $X$ 的一个仿射覆盖, 那么 $F$ 作为层的支撑等价于每个 $A_{\alpha }$-模 $M_{\alpha }$ 作为模的支撑的并集.

由正合序列 $0\to {\mathcal {O}}_{X}(-D)\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{D}\to 0$ 对于一个在光滑射影簇 $X$ 中的除子 D, 如果我们令开集 $U=X-D$ 则有 ${\mathcal {O}}_{X}(-D)(U)\cong {\mathcal {O}}_{X}(U)$, 这可以由线丛的定义得到, 并且注意到这里 $U\cap D=\varnothing$.

例子

由前面已知, 一个素理想 ${\mathfrak {p}}$ 在模 $M$ 的支撑里, 当且仅当它包含 $M$ 的消灭元. 来看一个例子

${\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4})}}\in {\text{Mod}}(\mathbb {C} [x,y,z,w])$

作为模的消灭元是理想 $(x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4})$. 这意味着 ${\text{Supp}}(M)\cong \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y,z,w]/(x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4}))$ 也就是说它的支撑是多项式 $x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4}$ 的零点.

现在来看短正合序列 $0\to I\to R\to R/I\to 0$ 我们可以认为理想 $(x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4})$ 的支撑等价于 ${\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,y,z,w]_{(x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4})})$ 也就是多项式零点的补集.

在specialization意义下, 模的支撑总是闭的.

现在, 如果我们在一个整环里取两个多项式$f_{1},f_{2}\in R$, 使得理想 $(f_{1},f_{2})$ 是完全交, 那么张量积的性质告诉我们 ${\text{Supp}}\left({\frac {R}{(f_{1})}}\otimes _{R}{\frac {R}{(f_{2})}}\right)={\text{Supp}}\left({\frac {R}{(f_{1})}}\right)\cap {\text{Supp}}\left({\frac {R}{(f_{2})}}\right)\cong {\text{Spec}}(R/(f_{1},f_{2}))$

相关参考

• Associated prime
• Support (mathematics)