超限数

各种各样的数

基本

$\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$

正数 $\mathbb {R} ^{+}$
自然数 $\mathbb {N}$
正整数 $\mathbb {Z} ^{+}$
小数
 有限小数
 无限小数
 循环小数
 有理数 $\mathbb {Q}$
代数数 $\mathbb {A}$
实数 $\mathbb {R}$
复数 $\mathbb {C}$
高斯整数 $\mathbb {Z} [i]$

负数 $\mathbb {R} ^{-}$
整数 $\mathbb {Z}$
负整数 $\mathbb {Z} ^{-}$
分数
 单位分数
 二进分数
 规矩数
 无理数
 超越数
 虚数 $\mathbb {I}$
二次无理数
 艾森斯坦整数 $\mathbb {Z} [\omega ]$

延伸

二元数
 四元数 $\mathbb {H}$
八元数 $\mathbb {O}$
十六元数 $\mathbb {S}$
超实数 $^{*}\mathbb {R}$
大实数
 上超实数

双曲复数
 双复数
 复四元数
共四元数（英语：Dual quaternion）
超复数
 超数
 超现实数

其他

质数 $\mathbb {P}$
可计算数
 基数
 阿列夫数
 同馀
 整数数列
 公称值

规矩数
 可定义数
 序数
 超限数
 $p$ 进数
 数学常数

圆周率 $\pi =3.14159265$ …
自然对数的底 $e=2.718281828$ …
虚数单位 $i={\sqrt {-{1}}}$
无限大 $\infty$

超限数是大于所有有限数（但不必为绝对无限）的基数或序数，分别叫做超穷基数（英语：transfinite cardinal number）和超穷序数（英语：transfinite ordinal number）。术语“超限”（transfinite）是康托尔提出的，他希望避免词语无限（infinite）和那些只不过不是有限（finite）的那些对象有关的某些暗含。当时其他的作者少有这些疑惑；现在被接受的用法是称超限基数或序数为无限的。但是术语“超限”仍在使用。

超穷序数可以确定超穷基数，并导出阿列夫数序列。

对于有限数，有两种方式考虑超限数，作为基数和作为序数。不像有限基数和序数，超限基数和超限序数定义了不同类别的数。

最小超限序数是ω。
第一个超限基数是aleph-0 $\aleph _{0}$ ，整数的无限集合的势。如果选择公理成立，下一个更高的基数是aleph-1 $\aleph _{1}$ 。如果不成立，则有很多不可比较于aleph-1并大于aleph-0的其他基数。但是在任何情况下，没有基数大于aleph-0并小于aleph-1。

连续统假设声称在aleph-0和连续统（实数的集合）的势之间没有中间基数：就是说，aleph-1是实数集合的势。已经在数学上证实了连续统假设不能被证明为真或假，由于不完备性的影响。

某些作者，比如Suppes、Rubin使用术语超限基数来称呼戴德金无限集合的势，在可以不等于无限基数的上下文中；就是说在不假定可数选择公理成立的上下文中。给定这个定义，下列是等价的：

$\mathbf {m}$ 是超限基数。就是说有一个戴德金无限集合A使得A的势是 $\mathbf {m}$ 。
$\mathbf {m} +1=\mathbf {m}$ 。
$\aleph _{0}\leq \mathbf {m}$ 。
有一个基数 $\mathbf {n}$ 使得 $\aleph _{0}+\mathbf {n} =\mathbf {m}$ 。

引用

O'Connor, J. J. and E. F. Robertson (1998) "Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor" （页面存档备份，存于互联网档案馆）, MacTutor History of Mathematics archive.
Patrick Suppes, "Axiomatic Set Theory", Dover, 1972, ISBN 0-486-61630-4
Jean E. Rubin, "Set Theory for the Mathematician", Holden-Day (San Francisico, 1967)

参见