集合 (数学)

集合（英语：set）简称集，是一个基本的数学模型，指若干不同物件（英语：object）形成的总体。集合里的物件称作元素或成员，它们可以是任何类型的数学对象：数字、符号、变量、空间中的点、线、面，甚至是其他集合。若 $x$ 是集合 $A$ 的元素，记作 $x\in A$ 。不包含任何元素的集合称为空集；只包含一个元素的集合称为单元素集合。集合可以包含有限或无限个元素。如果两个集合所包含的元素完全相同，我们称这两个集合相等。

集合在现代数学无处不在，其基本理论是于十九世纪末创立的。自20世纪上半叶以来，集合理论，更确切地说是策梅洛-弗兰克尔集合论，一直是为所有数学分支奠定严格实际基础的标准。

导言

定义

简单来说，所谓的一个集合，就是将数个对象归类而分成为一个或数个形态各异的大小整体。一般来讲，集合是具有某种特性的事物的整体，或是一些确认对象的汇集。构成集合的事物或对象称作“元素”或“成员”。集合的元素可以是任何事物，可以是人，可以是物，也可以是字母或数字等。

在数学交流当中为了方便，集合会有一些别名。比如：

族、系：通常指它的元素也是一些集合。

符号

元素通常用 $a,\ b,\ c,\ d,\ x$ 等小写字母来表示；而集合通常用 $\mathbf {A,\ B,\ C,\ D,\ X}$ 等大写字母来表示。

当元素 $a$ 属于集合 $\mathbf {A}$ 时，记作 $a\in \mathbf {A}$ 。

当元素 $a$ 不属于集合 $\mathbf {A}$ 时，记作 $a\not \in \mathbf {A}$ 。

如果 $\mathbf {A,\ B}$ 两个集合所包含的元素完全一样，则二者相等，写作 $\mathbf {A=B}$ 。

特性

无序性：一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。

集合上可以定义序关系，定义了序关系后，元素之间就可以按照序关系排序。但就集合本身的特性而言，元素之间没有必然的序。（参见序理论）

互异性：一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。

有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画，可以使用多重集，其中的元素允许出现多次。

确定性：给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。

表示

集合可以用文字或数学符号描述，称为描述法，比如：

A=

大于零的前三个自然数

B=

光的三原色和白色

集合的另一种表示方法是在大括号中列出其元素，称为列举法，比如：

C=\left\{1,2,3\right\}

D=\{

红色

,

蓝色

,

绿色

,

白色

\}

尽管两个集合有不同的表示，它们仍可能是相同的。比如：上述集合中， $A=C$ 而 $B=D$ ，因为它们正好有相同的元素。

元素列出的顺序不同，或者元素列表中有重复，都和集合相同与否没有关系。比如：这三个集合 $\left\{2,4\right\}$ ， $\left\{4,2\right\}$ 和 $\left\{2,2,4,2\right\}$ 是相同的，因为它们有相同的元素。

集合在不严格的意义下也可以通过草图来表示，更多信息，请见文氏图。

集合间的关系

子集与包含关系

B的子集A

定义

集合 $A$ 、 $B$ ，若 $\forall a\in A$ ，有 $a\in B\therefore A\subseteq B$ 。则称 $A$ 是 $B$ 的子集，亦称 $A$ 包含于 $B$ ，或 $B$ 包含 $A$ ，记作 $A\subseteq B$ 或 $B\supseteq A$ ，否则称 $A$ 不是 $B$ 的子集，记作 $A\nsubseteq B$ 或 $B\nsupseteq A$ 。

若 $A\subseteq B$ ，且 $A\neq B$ ，则称 $A$ 是 $B$ 的真子集，亦称 $A$ 真包含于 $B$ ，或 $B$ 真包含 $A$ ，记作 $A\subsetneqq B$ 或 $B\supsetneqq A$ （有时也记作 $A\subset B$ 或 $B\supset A$ ）。

基本性质

包含关系“ $\subseteq$ ”是集合间的一个非严格偏序关系，因为它有如下性质：
- 自反性： $\forall$ 集合 $S$ ， $S\subseteq S$ ；（任何集合都是其本身的子集）
- 反对称性： $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq A\Leftrightarrow A=B$ ；（这是证明两集合相等的常用手段之一）
- 传递性： $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq C\Rightarrow A\subseteq C$ ；
真包含关系“ $\subsetneqq$ ”是集合间的一个严格偏序关系，因为它有如下性质：
- 反自反性： $\forall$ 集合 $S$ ， $S\subsetneqq S$ 都不成立；
- 非对称性： $A\subsetneqq B\Rightarrow B\subsetneqq A$ 不成立；反之亦然；
- 传递性： $A\subsetneqq B$ 且 $B\subsetneqq C\Rightarrow A\subsetneqq C$ ；
显然，包含关系，真包含关系定义了集合间的偏序关系。而 $\varnothing$ 是这个偏序关系的最小元素，即： $\forall$ 集合 $S$ ， $\varnothing \subseteq S$ ；且若 $S\neq \varnothing$ ，则 $\varnothing \subsetneqq S$ ，（空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）

举例

所有男人的集合是所有人的集合的真子集。
所有自然数的集合是所有整数的集合的真子集。
$\left\{1,3\right\}\subsetneqq \left\{1,2,3,4\right\}$
$\left\{1,2,3,4\right\}\subseteq \left\{1,2,3,4\right\}$

运算

并

两个集合可以相"加"。 $A$ 和 $B$ 的联集是将 $A$ 和 $B$ 的元素放到一起构成的新集合。

定义

给定集合 $A$ ， $B$ ，定义运算 $\cup$ 如下： $A\cup B=\{e|e\in A$ 或 $e\in B\}$ 。 $A\cup B$ 称为 $A$ 和 $B$ 的联集。

A 和 B 的联集

示例

$\{1,2\}\cup \{$ 红色 $,$ 白色 $\}=\{1,2,$ 红色 $,$ 白色 $\}$
$\{1,2,$ 绿色 $\}\cup \{$ 红色 $,$ 白色 $,$ 绿色 $\}=\{1,2,$ 红色 $,$ 白色 $,$ 绿色 $\}$
$\left\{1,2\right\}\cup \left\{1,2\right\}=\left\{1,2\right\}$

基本性质

作为集合间的二元运算， $\cup$ 运算具有以下性质。

交换律： $A\cup B=B\cup A$ ；
结合律： $\left(A\cup B\right)\cup C=A\cup \left(B\cup C\right)$ ；
幂等律： $A\cup A=A$ ；
幺元： $\forall$ 集合 $A$ ， $A\cup \varnothing =A$ ；（ $\varnothing$ 是 $\cup$ 运算的幺元）。

交

一个新的集合也可以通过两个集合均有的元素来构造。 $A$ 和 $B$ 的交集，写作 $A\cap B$ ，是既属于 $A$ 的、又属于 $B$ 的所有元素组成的集合。

若 $A\cap B=\varnothing$ ，则 $A$ 和 $B$ 称作不相交。

A 和 B 的交集

定义

给定集合 $A$ 、 $B$ ，定义运算 $\cap$ 如下： $A\cap B=\{e|e\in A$ 且 $e\in B\}$ 。 $A\cap B$ 称为 $A$ 和 $B$ 的交集。

基本性质

作为集合间的二元运算， $\cap$ 运算具有以下性质。

交换律： $A\cap B=B\cap A$ ；
结合律： $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$ ；
幂等律： $A\cap A=A$ ；
空集合： $\forall$ 集合 $A$ ， $A\cap \varnothing =\varnothing$ ；（ $\varnothing$ 是 $\cap$ 运算的空集合）。

其它性质还有：

$A\subseteq B\Rightarrow A\cap B=A$

示例

$\{1,2\}\cap \{$ 红色 $,$ 白色 $\}=\varnothing$
$\{1,2,$ 绿色 $\}\cap \{$ 红色 $,$ 白色 $,$ 绿色 $\}=\{$ 绿色 $\}$
$\{1,2\}\cap \{1,2\}=\{1,2\}$

补集

两个集合也可以相"减"。 $A$ 在 $B$ 中的相对补集，国际上通常写作 $B\setminus A$ ，中文教材中有时也会写作 $B-A$ 。表示属于 $B$ 的、但不属于 $A$ 的所有元素组成的集合。

在特定情况下，所讨论的所有集合是一个给定的全集 $U$ 的子集。这样， $U-A$ 称作 $A$ 的绝对补集，或简称补集（馀集），写作 $A'$ 或 $\complement _{U}A$ 。

相对补集 A - B

补集可以看作两个集合相减，有时也称作差集。

定义

给定集合 $A$ ， $B$ ，定义运算-如下： $A-B=\{e|e\in A$ 且 $e\not \in B\}$ 。 $A-B$ 称为 $B$ 对于 $A$ 的差集，相对补集或相对馀集。

在上下文确定了全集 $U$ 时，对于 $U$ 的某个子集 $A$ ，一般称 $U-A$ 为 $A$ （对于 $U$ ）的补集或余集，通常记为 $A'$ 或 ${\bar {A}}$ ，也有记为 $A^{\text{c}}$ , $A'$ , $\complement _{U}A$ ，以及 $\complement A$ 的。

基本性质

作为集合间的二元运算，- 运算有如下基本性质：

$A-A=\varnothing$ ；
右幺元： $\forall$ 集合 $A$ ， $A-\varnothing =A$ ；（ $\varnothing$ 是 $-$ 运算的右幺元）。
左零元（英语：Zero element）： $\forall$ 集合 $A$ ， $\varnothing -A=\varnothing$ ；（ $\varnothing$ 是 $-$ 运算的左零元）。

示例

$\{1,2\}-\{$ 红色 $,$ 白色 $\}=\{1,2\}$
$\{1,2,$ 绿色 $\}-\{$ 红色 $,$ 白色 $,$ 绿色 $\}=\{1,2\}$
$\{1,2\}-\{1,2\}=\varnothing$
若 $U$ 是整数集，则奇数的补集是偶数

对称差

定义

给定集合 $A$ ， $B$ ，定义对称差运算 $\vartriangle$ 如下： $A\vartriangle B=(A-B)\cup (B-A)$ 。

基本性质

作为集合间的二元运算， $\vartriangle$ 运算具有如下基本性质：

交换律： $A\vartriangle B=B\vartriangle A$ ；
结合律： $(A\vartriangle B)\vartriangle C=A\vartriangle (B\vartriangle C)$ ；
幺元： $\forall$ 集合 $A$ ， $A\vartriangle \varnothing =A$ ；（ $\varnothing$ 是 $\vartriangle$ 运算的幺元）。
逆元： $A\vartriangle A=\varnothing$ ；

运算性质

集合的运算除了以上情况之外，集合间还具有以下运算性质：

分配律:

A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)

A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)

对偶律:

{\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}

{\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}

集合的元素个数

上述每一个集合都有确定的元素个数；比如：集合 A 有三个元素、而集合 B 有四个。一个集合中元素的数目称为该集合的基数。数学写法有很多种，不同作者及不同书本用不同的写法: $\operatorname {Card} (A),\ \#A,\ |A|,\ {\bar {A}},\ {\bar {\bar {A}}}$ 。

集合可以没有元素。这样的集合叫做空集，用 $\{\}$ 或符号 $\varnothing$ 表示。比如：集合 $A$ 是2004年所有住在月球上的人，它没有元素，则 $A=\varnothing$ 。在数学上，空集非常重要。更多资讯请参阅空集。

如果集合只含有限个元素，那么这个集合可以称为有限集合。

集合也可以有无穷多个元素，这样的集合称为无限集合。比如：自然数集便是无限集合。关于无穷大和集合的大小的其他资讯请见集合的势。

公理化集合论

若把集合看作“符合任意特定性质的一堆东西”，会得出所谓罗素悖论。为解决罗素悖论，数学家提出公理化集合论。在公理集合论中，集合是一个不加定义的概念。

类

在更深层的公理化数学中，集合仅仅是一种特殊的类，是“良性类”，是能够成为其它类的元素的类。

类区分为两种：一种是可以顺利进行类运算的“良性类”，这种“良性类”称为集合；另一种是要限制运算的“本性类”，对于本性类，类运算并不是都能进行的。

定义类A如果满足条件“ $\exists B(A\in B)$ ”，则称类A为一个集合(简称为集)，记为 $\operatorname {Set} (A)$ 。否则称为本性类。

这说明，一个集合可以作为其它类的元素，但一个本性类却不能成为其它类的元素。因此可以理解为“本性类是最高层次的类”。

参见

参考文献

Dauben, Joseph W., Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Boston: Harvard University Press (1979) ISBN 978-0-691-02447-9.
Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6.
Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications（英语：Dover Publications） (1979) ISBN 0-486-63829-4.