集合 (數學)

集合（英語：set）簡稱集，是一個基本的數學模型，指若干不同物件（英語：object）形成的總體。集合裏的物件稱作元素或成員，它們可以是任何類型的數學物件：數字、符號、變量、空間中的點、線、面，甚至是其他集合。若 $x$ 是集合 $A$ 的元素，記作 $x\in A$ 。不包含任何元素的集合稱為空集；只包含一個元素的集合稱為單元素集合。集合可以包含有限或無限個元素。如果兩個集合所包含的元素完全相同，我們稱這兩個集合相等。

集合在現代數學無處不在，其基本理論是於十九世紀末創立的。自20世紀上半葉以來，集合理論，更確切地說是策梅洛-弗蘭克爾集合論，一直是為所有數學分支奠定嚴格實際基礎的標準。

導言

定義

簡單來說，所謂的一個集合，就是將數個物件歸類而分成為一個或數個形態各異的大小整體。一般來講，集合是具有某種特性的事物的整體，或是一些確認物件的匯集。構成集合的事物或物件稱作「元素」或「成員」。集合的元素可以是任何事物，可以是人，可以是物，也可以是字母或數字等。

在數學交流當中為了方便，集合會有一些別名。比如：

族、系：通常指它的元素也是一些集合。

符號

元素通常用 $a,\ b,\ c,\ d,\ x$ 等小寫字母來表示；而集合通常用 $\mathbf {A,\ B,\ C,\ D,\ X}$ 等大寫字母來表示。

當元素 $a$ 屬於集合 $\mathbf {A}$ 時，記作 $a\in \mathbf {A}$ 。

當元素 $a$ 不屬於集合 $\mathbf {A}$ 時，記作 $a\not \in \mathbf {A}$ 。

如果 $\mathbf {A,\ B}$ 兩個集合所包含的元素完全一樣，則二者相等，寫作 $\mathbf {A=B}$ 。

特性

無序性：一個集合中，每個元素的地位都是相同的，元素之間是無序的。

集合上可以定義序關係，定義了序關係後，元素之間就可以按照序關係排序。但就集合本身的特性而言，元素之間沒有必然的序。（參見序理論）

互異性：一個集合中，任何兩個元素都認為是不相同的，即每個元素只能出現一次。

有時需要對同一元素出現多次的情形進行刻畫，可以使用多重集，其中的元素允許出現多次。

確定性：給定一個集合，任給一個元素，該元素或者屬於或者不屬於該集合，二者必居其一，不允許有模稜兩可的情況出現。

表示

集合可以用文字或數學符號描述，稱為描述法，比如：

A=

大於零的前三個自然數

B=

光的三原色和白色

集合的另一種表示方法是在大括號中列出其元素，稱為列舉法，比如：

C=\left\{1,2,3\right\}

D=\{

紅色

,

藍色

,

綠色

,

白色

\}

儘管兩個集合有不同的表示，它們仍可能是相同的。比如：上述集合中， $A=C$ 而 $B=D$ ，因為它們正好有相同的元素。

元素列出的順序不同，或者元素列表中有重複，都和集合相同與否沒有關係。比如：這三個集合 $\left\{2,4\right\}$ ， $\left\{4,2\right\}$ 和 $\left\{2,2,4,2\right\}$ 是相同的，因為它們有相同的元素。

集合在不嚴格的意義下也可以通過草圖來表示，更多資訊，請見文氏圖。

集合間的關係

子集與包含關係

B的子集A

定義

集合 $A$ 、 $B$ ，若 $\forall a\in A$ ，有 $a\in B\therefore A\subseteq B$ 。則稱 $A$ 是 $B$ 的子集，亦稱 $A$ 包含於 $B$ ，或 $B$ 包含 $A$ ，記作 $A\subseteq B$ 或 $B\supseteq A$ ，否則稱 $A$ 不是 $B$ 的子集，記作 $A\nsubseteq B$ 或 $B\nsupseteq A$ 。

若 $A\subseteq B$ ，且 $A\neq B$ ，則稱 $A$ 是 $B$ 的真子集，亦稱 $A$ 真包含於 $B$ ，或 $B$ 真包含 $A$ ，記作 $A\subsetneqq B$ 或 $B\supsetneqq A$ （有時也記作 $A\subset B$ 或 $B\supset A$ ）。

基本性質

包含關係「 $\subseteq$ 」是集合間的一個非嚴格偏序關係，因為它有如下性質：
- 自反性： $\forall$ 集合 $S$ ， $S\subseteq S$ ；（任何集合都是其本身的子集）
- 反對稱性： $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq A\Leftrightarrow A=B$ ；（這是證明兩集合相等的常用手段之一）
- 遞移性： $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq C\Rightarrow A\subseteq C$ ；
真包含關係「 $\subsetneqq$ 」是集合間的一個嚴格偏序關係，因為它有如下性質：
- 反自反性： $\forall$ 集合 $S$ ， $S\subsetneqq S$ 都不成立；
- 非對稱性： $A\subsetneqq B\Rightarrow B\subsetneqq A$ 不成立；反之亦然；
- 遞移性： $A\subsetneqq B$ 且 $B\subsetneqq C\Rightarrow A\subsetneqq C$ ；
顯然，包含關係，真包含關係定義了集合間的偏序關係。而 $\varnothing$ 是這個偏序關係的最小元素，即： $\forall$ 集合 $S$ ， $\varnothing \subseteq S$ ；且若 $S\neq \varnothing$ ，則 $\varnothing \subsetneqq S$ ，（空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）

舉例

所有男人的集合是所有人的集合的真子集。
所有自然數的集合是所有整數的集合的真子集。
$\left\{1,3\right\}\subsetneqq \left\{1,2,3,4\right\}$
$\left\{1,2,3,4\right\}\subseteq \left\{1,2,3,4\right\}$

運算

併

兩個集合可以相"加"。 $A$ 和 $B$ 的併集是將 $A$ 和 $B$ 的元素放到一起構成的新集合。

定義

給定集合 $A$ ， $B$ ，定義運算 $\cup$ 如下： $A\cup B=\{e|e\in A$ 或 $e\in B\}$ 。 $A\cup B$ 稱為 $A$ 和 $B$ 的併集。

A 和 B 的併集

示例

$\{1,2\}\cup \{$ 紅色 $,$ 白色 $\}=\{1,2,$ 紅色 $,$ 白色 $\}$
$\{1,2,$ 綠色 $\}\cup \{$ 紅色 $,$ 白色 $,$ 綠色 $\}=\{1,2,$ 紅色 $,$ 白色 $,$ 綠色 $\}$
$\left\{1,2\right\}\cup \left\{1,2\right\}=\left\{1,2\right\}$

基本性質

作為集合間的二元運算， $\cup$ 運算具有以下性質。

交換律： $A\cup B=B\cup A$ ；
結合律： $\left(A\cup B\right)\cup C=A\cup \left(B\cup C\right)$ ；
冪等律： $A\cup A=A$ ；
單位元： $\forall$ 集合 $A$ ， $A\cup \varnothing =A$ ；（ $\varnothing$ 是 $\cup$ 運算的單位元）。

交

一個新的集合也可以通過兩個集合均有的元素來構造。 $A$ 和 $B$ 的交集，寫作 $A\cap B$ ，是既屬於 $A$ 的、又屬於 $B$ 的所有元素組成的集合。

若 $A\cap B=\varnothing$ ，則 $A$ 和 $B$ 稱作不相交。

A 和 B 的交集

定義

給定集合 $A$ 、 $B$ ，定義運算 $\cap$ 如下： $A\cap B=\{e|e\in A$ 且 $e\in B\}$ 。 $A\cap B$ 稱為 $A$ 和 $B$ 的交集。

基本性質

作為集合間的二元運算， $\cap$ 運算具有以下性質。

交換律： $A\cap B=B\cap A$ ；
結合律： $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$ ；
冪等律： $A\cap A=A$ ；
空集合： $\forall$ 集合 $A$ ， $A\cap \varnothing =\varnothing$ ；（ $\varnothing$ 是 $\cap$ 運算的空集合）。

其它性質還有：

$A\subseteq B\Rightarrow A\cap B=A$

示例

$\{1,2\}\cap \{$ 紅色 $,$ 白色 $\}=\varnothing$
$\{1,2,$ 綠色 $\}\cap \{$ 紅色 $,$ 白色 $,$ 綠色 $\}=\{$ 綠色 $\}$
$\{1,2\}\cap \{1,2\}=\{1,2\}$

補集

兩個集合也可以相"減"。 $A$ 在 $B$ 中的相對補集，國際上通常寫作 $B\setminus A$ ，中文教材中有時也會寫作 $B-A$ 。表示屬於 $B$ 的、但不屬於 $A$ 的所有元素組成的集合。

在特定情況下，所討論的所有集合是一個給定的全集 $U$ 的子集。這樣， $U-A$ 稱作 $A$ 的絕對補集，或簡稱補集（餘集），寫作 $A'$ 或 $\complement _{U}A$ 。

相對補集 A - B

補集可以看作兩個集合相減，有時也稱作差集。

定義

給定集合 $A$ ， $B$ ，定義運算-如下： $A-B=\{e|e\in A$ 且 $e\not \in B\}$ 。 $A-B$ 稱為 $B$ 對於 $A$ 的差集，相對補集或相對餘集。

在上下文確定了全集 $U$ 時，對於 $U$ 的某個子集 $A$ ，一般稱 $U-A$ 為 $A$ （對於 $U$ ）的補集或余集，通常記為 $A'$ 或 ${\bar {A}}$ ，也有記為 $A^{\text{c}}$ , $A'$ , $\complement _{U}A$ ，以及 $\complement A$ 的。

基本性質

作為集合間的二元運算，- 運算有如下基本性質：

$A-A=\varnothing$ ；
右單位元： $\forall$ 集合 $A$ ， $A-\varnothing =A$ ；（ $\varnothing$ 是 $-$ 運算的右單位元）。
左零元素（英語：Zero element）： $\forall$ 集合 $A$ ， $\varnothing -A=\varnothing$ ；（ $\varnothing$ 是 $-$ 運算的左零元素）。

示例

$\{1,2\}-\{$ 紅色 $,$ 白色 $\}=\{1,2\}$
$\{1,2,$ 綠色 $\}-\{$ 紅色 $,$ 白色 $,$ 綠色 $\}=\{1,2\}$
$\{1,2\}-\{1,2\}=\varnothing$
若 $U$ 是整數集，則奇數的補集是偶數

對稱差

定義

給定集合 $A$ ， $B$ ，定義對稱差運算 $\vartriangle$ 如下： $A\vartriangle B=(A-B)\cup (B-A)$ 。

基本性質

作為集合間的二元運算， $\vartriangle$ 運算具有如下基本性質：

交換律： $A\vartriangle B=B\vartriangle A$ ；
結合律： $(A\vartriangle B)\vartriangle C=A\vartriangle (B\vartriangle C)$ ；
單位元： $\forall$ 集合 $A$ ， $A\vartriangle \varnothing =A$ ；（ $\varnothing$ 是 $\vartriangle$ 運算的單位元）。
反元素： $A\vartriangle A=\varnothing$ ；

運算性質

集合的運算除了以上情況之外，集合間還具有以下運算性質：

分配律:

A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)

A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)

對偶律:

{\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}

{\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}

集合的元素個數

上述每一個集合都有確定的元素個數；比如：集合 A 有三個元素、而集合 B 有四個。一個集合中元素的數目稱為該集合的基數。數學寫法有很多種，不同作者及不同書本用不同的寫法: $\operatorname {Card} (A),\ \#A,\ |A|,\ {\bar {A}},\ {\bar {\bar {A}}}$ 。

集合可以沒有元素。這樣的集合叫做空集，用 $\{\}$ 或符號 $\varnothing$ 表示。比如：集合 $A$ 是2004年所有住在月球上的人，它沒有元素，則 $A=\varnothing$ 。在數學上，空集非常重要。更多資訊請參閱空集。

如果集合只含有限個元素，那麼這個集合可以稱為有限集合。

集合也可以有無窮多個元素，這樣的集合稱為無限集合。比如：自然數集便是無限集合。關於無窮大和集合的大小的其他資訊請見集合的勢。

公理化集合論

若把集合看作「符合任意特定性質的一堆東西」，會得出所謂羅素悖論。為解決羅素悖論，數學家提出公理化集合論。在公理集合論中，集合是一個不加定義的概念。

類

在更深層的公理化數學中，集合僅僅是一種特殊的類，是「良性類」，是能夠成為其它類的元素的類。

類區分為兩種：一種是可以順利進行類運算的「良性類」，這種「良性類」稱為集合；另一種是要限制運算的「本性類」，對於本性類，類運算並不是都能進行的。

定義類A如果滿足條件「 $\exists B(A\in B)$ 」，則稱類A為一個集合(簡稱為集)，記為 $\operatorname {Set} (A)$ 。否則稱為本性類。

這說明，一個集合可以作為其它類的元素，但一個本性類卻不能成為其它類的元素。因此可以理解為「本性類是最高層次的類」。

參見

參考文獻

Dauben, Joseph W., Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Boston: Harvard University Press (1979) ISBN 978-0-691-02447-9.
Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6.
Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications（英語：Dover Publications） (1979) ISBN 0-486-63829-4.