特殊酉群

數學中,特殊酉群(英語:special unitary group),記作 ,是行列式為 1 的 酉矩陣組成的群(一般酉矩陣的行列式是絕對值為1的複數)。群運算是矩陣乘法。特殊酉群是由 酉矩陣組成的酉群 的一個子群,酉群又是一般線性群 ) 的一個子群。

群論


粒子物理標準模型中有廣泛的應用,特別是 電弱相互作用量子色動力學中。

最簡單的情形 ,是平凡群,只有一個元素。群 同構於範數四元數,從而微分同胚三維球面。因為單位四元數可表示三維空間中的旋轉(差一個符號),我們有一個滿同態 到旋轉群 ,其

性質

特殊酉群 SU(n) 是一個 n2-1 維實矩陣李群。在拓撲上是單連通的。在代數上,它是一個單李群(意為它的李代數是單的,見下)。SU(n) 的中心同構於循環群 Zn。當 n ≥ 3,它的外自同構群Z2,而 SU(2) 的外自同構群是平凡群

SU(n) 代數由 n2 個算子生成,滿足交換關係(對 i, j, k, l = 1, 2, ..., n):

 

另外,算子

 

滿足

 

這意味着 SU(n) 獨立的生成元個數是 n2-1[1]

生成元

一般地,SU(n) 的無窮小生成元(infinitesimal generator) T,由一個無埃爾米特矩陣表示。即

  •  

以及

  •  

基本表示

在定義或基本表示中,由   矩陣表示的生成元是:

  •  
這裡係數   是結構常數,它對所有指標都是反對稱的,而係數   對所有指標都是對稱的。

從而

  •  
  •  

我們也有

  •  

作為一個正規化約定。

伴隨表示

伴隨表示中,生成元表示由   矩陣表示,其元素由結構常數定義:

  •  

SU(2)

  一個一般矩陣元素形如

 

這裡   使得  。我們考慮如下映射  ,(這裡   表示 2×2 復矩陣集合),定義為

 

考慮到   微分同胚   同胚於  ,我們可看到   是一個實線性單射,從而是一個嵌入。現在考慮   限制在三維球面上,記作  ,我們可發現這是三維球面到   的一個緊子流形的一個嵌入。但顯然有  ,作為一個流形微分同胚於  ,使   成為一個緊連通李群

現在考慮李代數  ,一個一般元素形如

 

這裡   以及  。易驗證這樣形式的矩陣的是零並為反埃爾米特的。從而李代數由如下矩陣生成

 

易見它具有上面提到的一般元素的形式。它們滿足關係   。從而交換子括號由

 

確定。上述生成元與泡利矩陣有關, ,   

SU(3)

SU(3) 的生成元 T,在定義表示中為

 

這裡  蓋爾曼矩陣,是 SU(2) 泡利矩陣在 SU(3) 之類比:

     
     
   

注意它們都是無埃爾米特矩陣

它們服從關係

  •  
這裡 f 是結構常數,如上所定義,它們的值為
 
 
 

d 的取值:

 
 
 

李代數

  對應的李代數記作  。它的標準數學表示由無跡反埃爾米特   復矩陣組成,以通常交換子李括號粒子物理學家通常增加一個因子  ,從而所有矩陣成為埃爾米特的。這只不過是同一個實李代數一個不同的更方便的表示。注意    上一個李代數。

例如,下列量子力學中使用的矩陣組成    上的一組

 
 
 

(這裡  虛數單位。)

這個表示經常用於量子力學(參見泡利矩陣以及蓋爾曼矩陣)表示基本粒子比如電子的自旋。它們也作為我們三維空間量子相對論描述中的單位向量

注意任意兩個不同生成元的乘積是另一個生成元,以及生成元反交換。與單位矩陣(乘以  )一起

 

它們也是   的生成元。

當然這裡它取決於我們最終處理的問題,比如在非相對論量子力學中為 2-旋量;或在相對論狄拉克理論中,我們需要到 4-旋量的一個擴張;或在數學中甚至是克利福德代數

註:在矩陣乘法下(在此情形是反交換的),生成克利福德代數  ,而在交換子括號下生成李代數  

回到一般的  

如果我們選擇(任意)一個特定的基,則純虛數無跡對角   矩陣子空間組成一個  嘉當子代數

將這個李代數復化,從而現在允許任何無跡   矩陣。本徵向量是嘉當子代數自己,只有一個非零元素的矩陣不是對角的。儘管嘉當子代數   只是   維,但為了化簡計算,經常引入一個輔助元素,與所有元素交換的單位矩陣(它不能視為這個李代數的一個元素)。故我們有一個基,其中第   個基向量是在第   個對角元素為   而在其它處為零的矩陣。則權由   個坐標給出,而且在所有   個坐標求和為零(因為單位矩陣只是輔助的)。

  ,它的鄧肯圖  給出,有  頂點的鏈。

它的根系  個根組成,生成一個   歐幾里得空間。這裡,我們使用   冗餘坐標而不是   坐標來強調根系的對稱(  坐標之和為零)。換句話說,我們是將這個   維向量空間嵌入  -維中。則根由所有   置換  。兩段以前的構造解釋了為什麼。單根的一個選取為

 ,
 ,
…,
 .

它的嘉當矩陣

 .

它的外爾群考克斯特群對稱群   -單形的對稱群。

廣義特殊酉群

對一個 FF 上廣義特殊酉群 SU(p,q;F),F 上一個秩為 n=p+q向量空間上使得一個符號為 (p,q) 的非退化埃爾米特形式不變的所有行列式為 1 線性變換組成的群。這個么正群經常稱為 F 上符號為 (p,q) 的特殊酉群。域 F 可以換為一個交換環,在這種情形向量空間換為自由模

特別地,固定 GL(n,R) 中一個符號為 (p,q) 的埃爾米特矩陣,則所有

 

滿足

 
 

經常可以見到記號   略去環或域,在這種形式環或域是指 C,這給出一個典型李群。當 F=C 時,A 的標準選取是

 

對某些維數 A 可能有更好的選擇,當限制為 C 的一個子環時有更好表現。

例子

這類群的一個重要例子是皮卡模群 SU(2,1;Z[i]),(射影地)作用在二度復雙曲空間上,同樣地 SL(2,Z) (射影地)作用在二維實雙曲空間上。2003年,Gábor Francsics彼得·拉克斯算出了這個群在   上作用的基本域,參見 [1]

另一個例子是 SU(1,1;C),同構於 SL(2,R)。

重要子群

在物理學中,特殊酉群用於表示波色對稱。在對稱性破缺理論中尋找特殊酉群的子群很重要。在大一統理論中 SU(n) 重要的子群是,對 p>1,n-p>1:

 

為了完整性,還有正交子群:

 
 

因為 SU(n) 的n-1,U(1) 是 1,一個有用的檢驗是看子群的秩是小於還是等於原來群的秩。SU(n) 是多個其它李群的子群:

 
 
 (參見自旋群
 
 
 (關於 E6, E7 與 G2 參見單李群)。

有同構 SU(4)=Spin(6)SU(2)=Spin(3)=USp(2) 以及 U(1)=Spin(2)=SO(2)

最後值得指出的是 SU(2) 是 SO(3) 的二重覆疊群,這個關係在非相對論量子力學 2-旋量的旋轉中起着重要的作用。

相關條目

注釋

  1. ^ R.R. Puri, Mathematical Methods of Quantum Optics, Springer, 2001.

參考文獻

外部連結