狄利克雷定理

定理

狄利克雷定理狄利克雷於1837年發表的數論中關於質數同餘類中分布的定理:對於任意互質正整數同餘的質數集合相對質數集合密度

定理內容

狄利克雷定理表明:

  互質,則 
其中, 歐拉函數 為質數計數函數, 為模 同餘 集合中小於 的質數個數。

質數在同餘類中的分布

狄利克雷定理揭示了質數在同餘類中的分布。

形象地說,在模 同餘類中,除去不包含或僅包含有限個質數的同餘集合,質數的分布是大致均勻的。

  •  為例:共有  個模 同餘集合,其中同餘集合 不包含或只含有限個質數,剩下的質數近乎等概率地分布在同餘集合 中:
在不大於 的質數中,質數在 中的比率分別為  
在不大於 的質數中,質數在 中的比率分別為  
在不大於 的質數中,質數在 中的比率分別為  
  •  為例:共有  個模 同餘集合,其中同餘集合 不包含或只含有限個質數,剩下的質數近乎等概率地分布在同餘集合 中:
不大於 的質數中,質數在 中的比率分別為  
在不大於 的質數中,質數在 中的比率分別為  
在不大於 的質數中,質數在 中的比率分別為  

相關定理

  • 歐幾里得證明了有無限個質數,即有無限多個質數的形式如 
  • 算術級數的質數定理:若 互質,則有
 

其中φ是歐拉函數。取 ,可得一般的質數定理

歷史

歐拉曾以 ,來證明質數有無限個。約翰·彼得·狄利克雷得以靈感,藉助證明 來證明算術級數中有無限個質數。這個定理的證明中引入了狄利克雷L函數,應用了一些解析數學的技巧,是解析數論的重要里程碑。

推廣

這個定理的一些推廣形式,但是都還只是未被證明的猜想而已,並不是定理。

參考

  • T. M. Apostol (1976). Introduction to Analytic Number Theory. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90163-9. Chapter 7