自然對數
自然對數(英語:Natural logarithm)為以數學常數e為底數的對數函數,標記作或,其反函數為指數函數。[註 1]
自然對數積分定義為對任何正實數,由到所圍成,曲線下的面積。如果小於1,則計算面積為負數。
則定義為唯一的實數使得。
歷史
十七世紀
約翰·納皮爾在1614年[3]以及約斯特·比爾吉在6年後[4],分別發表了獨立編制的對數表,當時通過對接近1的底數的大量乘冪運算,來找到指定範圍和精度的對數和所對應的真數。當時還沒出現有理數冪的概念,按後世的觀點,約翰·納皮爾的底數0.999999910000000相當接近 [5],而約斯特·比爾吉的底數1.000110000相當接近自然對數的底數 。實際上不需要做開高次方這種艱難運算,約翰·納皮爾用了20年時間進行相當於數百萬次乘法的計算,亨利·布里格斯建議納皮爾改用10為底數未果,他用自己的方法[6]於1624年部份完成了常用對數表的編制。
形如 的曲線都有一個代數反導數,除了特殊情況 對應於雙曲線的弓形面積,即雙曲線扇形;其他情況都由1635年發表的卡瓦列里弓形面積公式給出[7],其中拋物線的弓形面積由公元前3世紀的阿基米德完成(拋物線的弓形面積),雙曲線的弓形面積需要發明一個新函數。1647年聖文森特的格列高利將對數聯繫於雙曲線 的弓形面積,他發現x軸上 兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的雙曲線扇形同 對應的扇形,在 時面積相同,這指出了雙曲線從 到 的積分 滿足[8]:
1649年,薩拉薩的阿爾豐斯·安東尼奧將雙曲線下的面積解釋為對數。大約1665年,伊薩克·牛頓推廣了二項式定理,他將 展開並逐項積分,得到了自然對數的無窮級數。「自然對數」最早描述見於尼古拉斯·麥卡托在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中[9],他也獨立發現了同樣的級數,即自然對數的麥卡托級數。
十八世紀
大約1730年,歐拉定義互為逆函數的指數函數和自然對數為[10][11]:
形式定義
正式定義為積分,
這個函數為對數是因滿足對數的基本性質:
這可以通過將定義了 的積分拆分為兩部份,並在第二部份中進行換元 來證實:
冪公式 可如下推出:
第二個等式使用了換元 。
自然對數還有在某些情況下更有用的另一個積分表示:
性質
- (參見複數對數)
證明
導數
自然對數的導數為
證明一(微積分第一基本定理):
設
設
用自然對數定義的更一般的對數函數, ,根據其逆函數即一般指數函數的性質,它的導數為[13][14]:
根據鏈式法則,以 為參數的自然對數的導數為
冪級數
自然對數的導數性質導致了 在0處的泰勒級數,也叫做麥卡托級數:
-
- 對於所有 但不包括
把 代入 中,可得到 自身的級數。通過在麥卡托級數上使用歐拉變換,可以得到對絕對值大於1的任何 有效的如下級數:
這個級數類似於貝利-波爾溫-普勞夫公式。
還要注意到 是自身的逆函數,所以要生成特定數 的自然對數,簡單把 代入 中。
-
- 對於
自然數的倒數的總和
叫做調和級數。它與自然對數有密切聯繫:當 趨於無窮的時候,差
積分
自然對數通過分部積分法積分:
假設:
所以:
自然對數可以簡化形如 的函數的積分: 的一個原函數給出為 。這是基於鏈式法則和如下事實:
換句話說,
且
例子
下面是 的例子:
設 且 :
與雙曲函數的關係
在18世紀,約翰·海因里希·蘭伯特介入雙曲函數[17],並計算雙曲幾何中雙曲三角形的面積[18]。對數函數是在直角雙曲線 下定義的,可構造雙曲線直角三角形,底邊在線 上,一個頂點是原點,另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數,是自然對數的逆函數指數函數,即要形成指定雙曲角 ,在漸近線即x或y軸上需要有的 或 的值。顯見這裡的底邊是 ,垂線是 。
連分數
這些連分數特別是最後一個對接近1的值快速收斂。但是,更大的數的自然對數,可以輕易的用這些更小的數的自然對數的加法來計算,帶有類似的快速收斂。
例如,因為 ,2的自然對數可以計算為:
進而,因為 ,10的自然對數可以計算為:
複數對數
指數函數可以擴展為對任何複數 得出複數值為 的函數,只需要簡單使用 為複數的無窮級數;這個指數函數的逆函數形成複數對數,並帶有正常的對數的多數性質。但是它涉及到了兩個困難:不存在 使得 ;並且有著 。因為乘法性質仍適用於複數指數函數, ,對於所有複數 和整數 。
所以對數不能定義在整個複平面上,並且它是多值函數,就是說任何複數對數都可以增加 的任何整數倍而成為等價的對數。複數對數只能在切割平面上是單值函數。例如, 或 或 等等;儘管 , 不能定義為 或 或 ,以此類推。
-
z=Re(ln(x+iy))
-
前三圖的疊加
主值定義
對於每個非0複數 ,主值 是虛部位於區間 內的對數。表達式 不做定義,因為沒有複數 滿足 。
要對 給出一個公式,可以先將 表達為極坐標形式, 。給定 ,極坐標形式不是確切唯一的,因為有可能向 增加 的整數倍,所以為了保證唯一性而要求 位於區間 內;這個 叫做幅角的主值,有時寫為 或 。則對數的主值可以定義為[19] :
例如, 。
科學應用
自然指數有應用於表達放射衰變(放射性)之類關於衰減的過程,如放射性原子數目的微分方程 隨時間變化率 ,常數 為原子衰變概率,積分得 。
註釋
參考資料
- ^ 例如哈代和賴特所著的《數論入門》"Introduction to the theory of numbers" (1.7, Sixth edition, Oxford 2008)的註解 "log x is, of course the 'Napierian' logarithm of x, to base e. 'Common' logarithms have no mathematical interest."(log x 當然是以e為基,x的「納皮爾」對數。「常用」對數在數學上毫無重要。)
- ^ 證明:從1到b積分1/x,增加三角形{(0, 0), (1, 0), (1, 1)},並減去三角形{(0, 0), (b, 0), (b, 1/b)}。
- ^ Ernest William Hobson, John Napier and the invention of logarithms, 1614, Cambridge: The University Press, 1914
- ^ Boyer, Carl B., 14,Section "Jobst Bürgi", A History of Mathematics, New York: John Wiley & Sons, 1991, ISBN 978-0-471-54397-8
- ^ 選取接近e的底數b,對數表涉及的bx為單調增函數,定義域為0到1而值域為1到b;選取接近1/e的底數b,對數表涉及的bx為單調減函數,定義域為0到∞而值域為1到0。
- ^ 以 這個接近1的數為基礎。
- ^
博納文圖拉·卡瓦列里在1635年的《Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota》中給出定積分:
- ^ 設a=1,x軸上[a,b]兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的雙曲線扇形面積為f(b),[c,d]對應的扇形面積為f(d)-f(c),d=bc,即為f(bc)-f(c),當且僅當f(bc)=f(b)+f(c)時,兩雙曲線扇形面積相等。
- ^ J. J. O'Connor; E. F. Robertson, The number e, The MacTutor History of Mathematics archive, September 2001 [2009-02-02], (原始內容存檔於2012-02-19)
- ^
卡瓦列里弓形面積公式,對於負數值的n(x的負數冪),由於在x = 0處有個奇點,因此定積分的下限為1,而不是0,即為:
- ^ Maor, Eli, e: The Story of a Number, Princeton University Press, 2009, ISBN 978-0-691-14134-3,sections 1, 1.
Eves, Howard Whitley, An introduction to the history of mathematics, The Saunders series 6th, Philadelphia: Saunders, 1992, ISBN 978-0-03-029558-4, section 9-3
Boyer, Carl B., A History of Mathematics, New York: John Wiley & Sons, 1991, ISBN 978-0-471-54397-8, p. 484, 489 - ^
在最初的概念下,底數是接近1的數,而對數是整數;經過簡單變換後,底數變大了,成為接近數學常量e的數,而對數變小了,成為 x/n。 - ^ Lang 1997, section IV.2
- ^ Wolfram, Stephen. "Calculation of d/dx(Log(b,x))". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. (原始內容存檔於2011-07-18) (英語).
- ^ Kline, Morris, Calculus: an intuitive and physical approach, Dover books on mathematics, New York: Dover Publications, 1998, ISBN 978-0-486-40453-0, p. 386
- ^ Havil, Julian, Gamma: Exploring Euler's Constant, Princeton University Press, 2003, ISBN 978-0-691-09983-5, sections 11.5 and 13.8
- ^ Eves, Howard, Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics, Courier Dover Publications: 59, 2012, ISBN 9780486132204,
We also owe to Lambert the first systematic development of the theory of hyperbolic functions and, indeed, our present notation for these functions.
- ^ Ratcliffe, John, Foundations of Hyperbolic Manifolds, Graduate Texts in Mathematics 149, Springer: 99, 2006 [2014-03-28], ISBN 9780387331973, (原始內容存檔於2014-01-12),
That the area of a hyperbolic triangle is proportional to its angle defect first appeared in Lambert's monograph Theorie der Parallellinien, which was published posthumously in 1786.
- ^ Sarason, Section IV.9.
延伸閱讀
- John B. Conway, Functions of one complex variable, 2nd edition, Springer, 1978.
- Serge Lang, Complex analysis, 3rd edition, Springer-Verlag, 1993.
- Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964.
- Donald Sarason, Complex function theory (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館), 2nd edition, American Mathematical Society, 2007.
- E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1927.