霍普夫不變量
歷史
1931年海因茨·霍普夫利用克利福德平行(Clifford parallel)構造了霍普夫映射 ,並通過利用圓周 對任意 的環繞數(=1),證明了 是本質的,即不同倫於常值映射。隨後證明了同倫群 是由 生成的無限循環群。1951年,讓-皮埃爾·塞爾證明了對一個奇數維球面( 奇)有理同倫群 是零除非 i = 0 或 n。但對一個偶數維球面( 偶),在 次處多出一個無限循環同倫。對此有一種有趣的看法:
定義
這裡 是 -維圓盤通過 貼上一個 。 胞腔鏈群 在度數 只是由 -胞腔自由生成,故它們在度數 0、 與 是 ,其餘都是零。胞腔(上)同調是該鏈復形的(上)同調,因為所有邊緣同態必然是零(注意到 ),上同調是
記這些上同調群的生成元為
- 與
因為維數原因,這些類之間的所有杯積除了 一定都是平凡的。從而作為一個環,上同調是
整數 是映射 的霍普夫不變量。
性質
定理: 是一個同態。進一步,如果 是偶數,則 映到 。
對霍普夫映射霍普夫不變量是 (這裡 ,分別對應於實可除代數 ,而二重覆疊 將球面上的一個方向送到它生成的子空間)。只有這些映射的霍普夫不變量是 1,這是最先由弗蘭克·亞當斯(Frank Adams)證明的一個定理,後來邁克爾·阿蒂亞利用 K-理論重新給出了證明。
推廣到穩定映射
可以定義一種非常一般的霍普夫不變量概念,但需要一些同倫論知識預備:
設 表示一個向量空間而 是其單點緊化,即對某個 有 而 。如果 是任意帶基點的空間(在上一節中不明確),如果我們去無窮遠點為 的基點,則我們可以構造楔積 。
現在令 是一個穩定映射,即在約化垂緯函子下穩定。 的(穩定)幾何霍普夫不變量是
,
是從 到 映射的穩定 -等變同倫群中一個元素。這裡穩定意為「在垂緯下穩定」,即通常等變同倫群在 上(或 ,如果你願意)的正向極限;而 -作用是 的平凡作用與交換 中兩個因子。如果我們令 表示典範對焦映射而 是恆等,則霍普夫不變量由下式定義:
這個映射原本是從 到 的映射,但在正向極限之下它成為映射的穩定同倫 -等變群的典型元素。
也有一個非穩定版本的霍普夫不變量 ,為此我們必須考慮向量空間 。
參考文獻
- Adams, J.F., On the non-existence of elements of Hopf invariant one, Ann. Math., 1960, 72: 20–104
- Adams, J.F.; Atiyah, M.F., K-Theory and the Hopf Invariant, The Quarterly Journal of Mathematics, 1966, 17 (1): 31–38
- Crabb, M.; Ranicki, A., The geometric Hopf invariant (PDF), 2006 [2009-06-22], (原始內容 (PDF)存檔於2016-03-03)
- Hopf, Heinz, Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche, Mathematische Annalen, 1931, 104: 637–665, ISSN 0025-5831
- Shokurov, A.V., Hopf invariant, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4