霍普夫不變量

在數學特別是代數拓撲學中，霍普夫不變量（英語：Hopf invariant）是球面之間某些映射的一個同倫不變量。

歷史

1931年海因茨·霍普夫利用克利福德平行（Clifford parallel）構造了霍普夫映射 $\eta \colon S^{3}\to S^{2}$，並通過利用圓周 $\eta ^{-1}(x),\eta ^{-1}(y)\subset S^{3}$ 對任意 $x\neq y\in S^{2}$ 的環繞數（=1），證明了 $\eta$ 是本質的，即不同倫於常值映射。隨後證明了同倫群 $\pi _{3}(S^{2})$ 是由 $\eta$ 生成的無限循環群。1951年，讓-皮埃爾·塞爾證明了對一個奇數維球面（$n$ 奇）有理同倫群 $\pi _{i}(S^{n})\otimes \mathbb {Q}$ 是零除非 i = 0 或 n。但對一個偶數維球面（$n$ 偶），在 $2n-1$ 次處多出一個無限循環同倫。對此有一種有趣的看法：

定義

設 $\phi \colon S^{2n-1}\to S^{n}$ 是一個連續映射（假設 $n>1$）。則我們可以構造胞腔復形

$C_{\phi }=S^{n}\cup _{\phi }D^{2n},$

這裡 $D^{2n}$ 是 $2n$-維圓盤通過 $\phi$ 貼上一個 $S^{n}$。 胞腔鏈群 $C_{\mathrm {cell} }^{*}(C_{\phi })$ 在度數 $n$ 只是由 $n$-胞腔自由生成，故它們在度數 0、$n$ 與 $2n$是 $\mathbb {Z}$，其餘都是零。胞腔（上）同調是該鏈復形的（上）同調，因為所有邊緣同態必然是零（注意到 $n>1$），上同調是

$H_{\mathrm {cell} }^{i}(C_{\phi })={\begin{cases}\mathbb {Z} &i=0,n,2n,\\0&{\mbox{otherwise}}.\end{cases}}$

記這些上同調群的生成元為

$H^{n}(C_{\phi })=\langle \alpha \rangle$ 與 $H^{2n}(C_{\phi })=\langle \beta \rangle .$

因為維數原因，這些類之間的所有杯積除了 $\alpha \smile \alpha$ 一定都是平凡的。從而作為一個環，上同調是

$H^{*}(C_{\phi })=\mathbb {Z} [\alpha ,\beta ]/\langle \beta \smile \beta =\alpha \smile \beta =0,\alpha \smile \alpha =h(\phi )\beta \rangle .$

整數 $h(\phi )$ 是映射 $\phi$ 的霍普夫不變量。

性質

定理：$h\colon \pi _{2n-1}(S^{n})\to \mathbb {Z}$ 是一個同態。進一步，如果 $n$ 是偶數，則 $h$ 映到 $2\mathbb {Z}$。

對霍普夫映射霍普夫不變量是 $1$（這裡 $n=1,2,4,8$，分別對應於實可除代數 $\mathbb {A} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} ,\mathbb {O}$，而二重覆疊 $S(\mathbb {A} ^{2})\to \mathbb {PA} ^{1}$ 將球面上的一個方向送到它生成的子空間）。只有這些映射的霍普夫不變量是 1，這是最先由弗蘭克·亞當斯（Frank Adams）證明的一個定理，後來麥可·阿蒂亞利用 K-理論重新給出了證明。

推廣到穩定映射

可以定義一種非常一般的霍普夫不變量概念，但需要一些同倫論知識預備：

設 $V$ 表示一個向量空間而 $V^{\infty }$ 是其單點緊化，即對某個 $k$ 有 $V\cong \mathbb {R} ^{k}$ 而 $V^{\infty }\cong S^{k}$。如果 $(X,x_{0})$ 是任意帶基點的空間（在上一節中不明確），如果我們去無窮遠點為 $V^{\infty }$ 的基點，則我們可以構造楔積 $V^{\infty }\wedge X$。

現在令 $F\colon V^{\infty }\wedge X\to V^{\infty }\wedge Y$ 是一個穩定映射，即在約化垂緯函子下穩定。$F$ 的（穩定）幾何霍普夫不變量是

$h(F)\in \{X,Y\wedge Y\}_{\mathbb {Z} _{2}}$，

是從 $X$ 到 $Y\wedge Y$ 映射的穩定 $\mathbb {Z} _{2}$-等變同倫群中一個元素。這裡穩定意為「在垂緯下穩定」，即通常等變同倫群在 $V$ 上（或 $k$，如果你願意）的正向極限；而 $\mathbb {Z} _{2}$-作用是 $X$ 的平凡作用與交換 $Y\wedge Y$ 中兩個因子。如果我們令 $\Delta _{X}\colon X\to X\wedge X$ 表示典範對焦映射而 $I$ 是恆等，則霍普夫不變量由下式定義：

$h(F):=(F\wedge F)(I\wedge \Delta _{X})-(I\wedge \Delta _{Y})(I\wedge F).$

這個映射原本是從 $V^{\infty }\wedge V^{\infty }\wedge X$ 到 $V^{\infty }\wedge V^{\infty }\wedge Y\wedge Y$ 的映射，但在正向極限之下它成為映射的穩定同倫 $\mathbb {Z} _{2}$-等變群的典型元素。

也有一個非穩定版本的霍普夫不變量 $h_{V}(F)$，為此我們必須考慮向量空間 $V$。

參考文獻

• Adams, J.F., On the non-existence of elements of Hopf invariant one, Ann. Math., 1960, 72: 20–104 
• Adams, J.F.; Atiyah, M.F., K-Theory and the Hopf Invariant, The Quarterly Journal of Mathematics, 1966, 17 (1): 31–38 

• Crabb, M.; Ranicki, A., The geometric Hopf invariant (PDF), 2006 [2009-06-22], （原始內容 (PDF)存檔於2016-03-03） 
• Hopf, Heinz, Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche, Mathematische Annalen, 1931, 104: 637–665, ISSN 0025-5831 
• Shokurov, A.V., Hopf invariant, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4