二年級之夢

二年級之夢(sophomore's dream)是約翰·白努利於1697年發現的兩條有趣的數學恆等式



名稱來自於與之相對的一年級之夢,也就是「 (x + y)n = xn + yn 」。兩個都帶有數學嚇人的簡單表達方式,然而一年級之夢為錯誤的方程式,因為只要將 帶入就會發現無法形成等式;但是二年級之夢卻是正確的式子。

證明

 
在座標上,兩公式的關係。

第一條公式,首先利用對數轉換和積分與級數順序變化[1]

  • 對數轉換  
  • 指數函數泰勒展開式  


得到  

在上式中我們利用了冪級數均勻收斂性,以交換求和運算及積分運算

 

 


再設  

 


根據Γ函數 


最終推得   若則積函數為 ,則可用同法推得 

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參考

  1. ^ BriTheMathGuy. The Integral of your Dreams (or Nightmares). YouTube. [2022-07-21]. (原始內容存檔於2022-07-22). 頁面存檔備份,存於互聯網檔案館