二年級之夢(sophomore's dream)是約翰·白努利於1697年發現的兩條有趣的數學恆等式。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\frac {1}{x^{x}}}\,\mathrm {d} x&=\quad \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{n}}}&&\scriptstyle {(=1.29128599706266354040728259059560054149861936827\dots })\\\int _{0}^{1}x^{x}\,\mathrm {d} x&=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}&&\scriptstyle {(=0.78343051071213440705926438652697546940768199014\dots })\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5656c25819b28533586e2f00c544475ac9d65270)
名稱來自於與之相對的一年級之夢,也就是「 (x + y)n = xn + yn 」。兩個夢都帶有數學嚇人的簡單表達方式,然而一年級之夢為錯誤的方程式,因為只要將
帶入就會發現無法形成等式;但是二年級之夢卻是正確的式子。
證明
在座標上,兩公式的關係。
第一條公式,首先利用對數轉換和積分與級數順序變化[1]:
- 對數轉換
- 指數函數的泰勒展開式
得到
在上式中我們利用了冪級數的均勻收斂性,以交換求和運算及積分運算
設
則
再設
根據Γ函數,
最終推得
若則積函數為 ,則可用同法推得
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參考