克拉梅爾猜想
數學上的克拉梅爾猜想(Cramér's conjecture)是瑞典數學家哈拉爾德·克拉梅爾在1937年提出的關於質數間隙的猜想。[1]該猜想是說:
- ,
這裏代表第個質數。該猜想到現在仍未證出或被否證。
關於質數間隙的條件結果
克拉梅爾也提出另一個較弱的關於質數間隙的猜想,指出在黎曼猜想成立的狀況下,有
- 。[1]
目前這方面最好的無條件結果是
而這點由R·C·貝克(R. C. Baker)、格林·哈曼和平茨·亞諾什三人證出。[2]
另一方面,E·韋斯欽蒂烏斯(E. Westzynthius)於1931年證明質數間隙成長速度快過對數,也就是說,[3]
羅伯特·亞歷山大·蘭金改進了他的結果,[4]並證明道
艾狄胥·帕爾猜想表示上式的左側趨近於無限,而這點於2014年由凱文·福特、本·格林、謝爾蓋·科尼亞金和陶哲軒四人組。[5]以及詹姆斯·梅納德分別證出。[6]這兩組人馬在該年稍晚將該結果以 因子進行改進。[7]
探索性論證
克拉梅爾猜想是基於本質上探索性的概率模型之上的,在其中一個大小為x的數是質數的概率是 。而該結果又稱作「克拉梅爾隨機模型」(Cramér random model)或「克拉梅爾質數模型」(Cramér model of the primes)。[8]
然而,安德魯·格蘭維爾指出,[9]根據邁爾定理,克拉梅爾隨機模型不能適切地描述質數在短區間上的分佈,而在考慮可除性後,修正版克拉梅爾模型指向 (A125313),其中 是歐拉-馬斯刻若尼常數。平茨·亞諾什則認為該比值的上極限可能發散至無限;[10]
類似地,倫納德·阿德曼和凱文·麥柯利(Kevin McCurley)寫道:
- 「由於H. Maier關於相鄰質數間隙的工作之故,學界對克拉梅爾猜想的確實公式起了疑問…(中略)因此很有可能對於任意的常數 而言,總存在一個常數,使得 和 有一個質數。」[11]
類似地,羅賓·維瑟(Robin Visser)寫道:
- 「事實上,由於格蘭維爾的工作之故,現在學界普遍相信克拉梅爾猜想是錯的。實際上也確實有邁爾定理等關於短區間的定理,和克拉梅爾模型難以兼容。」[12]
相關猜想和探索
丹尼爾·尚克斯猜想表示對質數間隙而言,下列比克拉梅爾猜想來得強的非病態公式成立:[13]
J·H·卡德韋爾(J.H. Cadwell)[14]則提出下列何質數間隙有關的公式: 該公式和尚克斯猜想在形式上一致,但同時提出了低次項。
馬雷克·沃爾夫(Marek Wolf)[15]則猜想在以質數計數函數 表示的狀況下,最大質數間隙 如下:
其中 和 是孿生質數常數的兩倍,可見A005597和A114907的相關內容。再一次地,該公式和尚克斯猜想在形式上一致,但同時提出了如下的低次項:
托馬斯·雷·奈斯利(發現奔騰浮點除錯誤的數學家)曾對許多大質數間隙進行計算,[16]他藉由下列公式來計算質數間隙與克拉梅爾猜想相契合的程度:
他寫道「即使對於已知最大的質數間隙, 的值都維持在1.13左右」。
參見
參考資料
- ^ 1.0 1.1 1.2 Cramér, Harald, On the order of magnitude of the difference between consecutive prime numbers (PDF), Acta Arithmetica, 1936, 2: 23–46 [2012-03-12], doi:10.4064/aa-2-1-23-46, (原始內容 (PDF)存檔於2018-07-23)
- ^ R. C. Baker, G. Harman, and J. Pintz, The difference between consecutive primes. II. Proc. London Math. Soc. (3), 83 (2001), no. 3, 532-562
- ^ Westzynthius, E., Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind, Commentationes Physico-Mathematicae Helsingsfors, 1931, 5: 1–37, JFM 57.0186.02, Zbl 0003.24601 (德語).
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