克拉梅爾猜想

數學上的克拉梅爾猜想(Cramér's conjecture)是瑞典數學家哈拉爾德·克拉梅爾在1937年提出的關於質數間隙的猜想。[1]該猜想是說:

這裏代表第質數。該猜想到現在仍未證出或被否證。

關於質數間隙的條件結果

克拉梅爾也提出另一個較弱的關於質數間隙的猜想,指出在黎曼猜想成立的狀況下,有

 [1]

目前這方面最好的無條件結果是

 

而這點由R·C·貝克(R. C. Baker)、格林·哈曼英語Glyn Harman平茨·亞諾什匈牙利語Pintz János三人證出。[2]

另一方面,E·韋斯欽蒂烏斯(E. Westzynthius)於1931年證明質數間隙成長速度快過對數,也就是說,[3]

 

羅伯特·亞歷山大·蘭金英語Robert Alexander Rankin改進了他的結果,[4]並證明道

 

艾狄胥·帕爾猜想表示上式的左側趨近於無限,而這點於2014年由凱文·福特英語Kevin Ford (mathematician)本·格林英語Ben Green (mathematician)謝爾蓋·科尼亞金英語Sergei Konyagin陶哲軒四人組。[5]以及詹姆斯·梅納德分別證出。[6]這兩組人馬在該年稍晚將該結果以 因子進行改進。[7]

探索性論證

克拉梅爾猜想是基於本質上探索性概率模型英語Probabilistic number theory之上的,在其中一個大小為x的數是質數的概率是 。而該結果又稱作「克拉梅爾隨機模型」(Cramér random model)或「克拉梅爾質數模型」(Cramér model of the primes)。[8]

根據克拉梅爾隨機模型,以下事件的概率為一[1]

 

然而,安德魯·格蘭維爾英語Andrew Granville指出,[9]根據邁爾定理,克拉梅爾隨機模型不能適切地描述質數在短區間上的分佈,而在考慮可除性後,修正版克拉梅爾模型指向 A125313),其中 歐拉-馬斯刻若尼常數。平茨·亞諾什則認為該比值的上極限可能發散至無限;[10]

類似地,倫納德·阿德曼和凱文·麥柯利(Kevin McCurley)寫道:

「由於H. Maier關於相鄰質數間隙的工作之故,學界對克拉梅爾猜想的確實公式起了疑問…(中略)因此很有可能對於任意的常數 而言,總存在一個常數,使得  有一個質數。」[11]

類似地,羅賓·維瑟(Robin Visser)寫道:

「事實上,由於格蘭維爾的工作之故,現在學界普遍相信克拉梅爾猜想是錯的。實際上也確實有邁爾定理等關於短區間的定理,和克拉梅爾模型難以兼容。」[12]

相關猜想和探索

 
質數間隙函數

丹尼爾·尚克斯英語Daniel Shanks猜想表示對質數間隙而言,下列比克拉梅爾猜想來得強的非病態公式成立:[13]  

J·H·卡德韋爾(J.H. Cadwell)[14]則提出下列何質數間隙有關的公式:   該公式和尚克斯猜想在形式上一致,但同時提出了低次項。

馬雷克·沃爾夫(Marek Wolf)[15]則猜想在以質數計數函數 表示的狀況下,最大質數間隙 如下:

 

其中  孿生質數常數的兩倍,可見A005597A114907的相關內容。再一次地,該公式和尚克斯猜想在形式上一致,但同時提出了如下的低次項:

 

托馬斯·雷·奈斯利德語Thomas Ray Nicely(發現奔騰浮點除錯誤的數學家)曾對許多大質數間隙進行計算,[16]他藉由下列公式來計算質數間隙與克拉梅爾猜想相契合的程度:

 

他寫道「即使對於已知最大的質數間隙, 的值都維持在1.13左右」。

參見

參考資料

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Cramér, Harald, On the order of magnitude of the difference between consecutive prime numbers (PDF), Acta Arithmetica, 1936, 2: 23–46 [2012-03-12], doi:10.4064/aa-2-1-23-46, (原始內容 (PDF)存檔於2018-07-23) 
  2. ^ R. C. Baker, G. Harman, and J. Pintz, The difference between consecutive primes. II. Proc. London Math. Soc. (3), 83 (2001), no. 3, 532-562
  3. ^ Westzynthius, E., Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind, Commentationes Physico-Mathematicae Helsingsfors, 1931, 5: 1–37, JFM 57.0186.02, Zbl 0003.24601 (德語) .
  4. ^ R. A. Rankin, The difference between consecutive prime numbers, J. London Math. Soc. 13 (1938), 242-247
  5. ^ Ford, Kevin; Green, Ben; Konyagin, Sergei; Tao, Terence. Large gaps between consecutive prime numbers. Annals of Mathematics. Second series. 2016, 183 (3): 935–974. arXiv:1408.4505 . doi:10.4007/annals.2016.183.3.4 . 
  6. ^ Maynard, James. Large gaps between primes. Annals of Mathematics. Second series. 2016, 183 (3): 915–933. arXiv:1408.5110 . doi:10.4007/annals.2016.183.3.3 . 
  7. ^ Ford, Kevin; Green, Ben; Konyagin, Sergei; Maynard, James; Tao, Terence. Long gaps between primes. Journal of the American Mathematical Society. 2018, 31: 65–105. arXiv:1412.5029 . doi:10.1090/jams/876. 
  8. ^ Terry Tao, 254A, Supplement 4: Probabilistic models and heuristics for the primes (optional)頁面存檔備份,存於互聯網檔案館), section on The Cramér random model, January 2015.
  9. ^ Granville, A., Harald Cramér and the distribution of prime numbers (PDF), Scandinavian Actuarial Journal, 1995, 1: 12–28 [2007-06-05], doi:10.1080/03461238.1995.10413946, (原始內容 (PDF)存檔於2015-09-23) .
  10. ^ János Pintz, Very large gaps between consecutive primes, Journal of Number Theory 63:2 (April 1997), pp. 286–301.
  11. ^ Leonard Adleman英語Leonard Adleman and Kevin McCurley, Open Problems in Number Theoretic Complexity, II. Algorithmic number theory (Ithaca, NY, 1994), 291–322, Lecture Notes in Comput. Sci., 877, Springer, Berlin, 1994.
  12. ^ Robin Visser, Large Gaps Between Primes頁面存檔備份,存於互聯網檔案館), University of Cambridge (2020).
  13. ^ Shanks, Daniel, On Maximal Gaps between Successive Primes, Mathematics of Computation (American Mathematical Society), 1964, 18 (88): 646–651, JSTOR 2002951, Zbl 0128.04203, doi:10.2307/2002951  .
  14. ^ Cadwell, J. H., Large Intervals Between Consecutive Primes, Mathematics of Computation, 1971, 25 (116): 909–913, JSTOR 2004355, doi:10.2307/2004355  
  15. ^ Wolf, Marek, Nearest-neighbor-spacing distribution of prime numbers and quantum chaos, Phys. Rev. E, 2014, 89 (2): 022922 [2024-01-09], Bibcode:2014PhRvE..89b2922W, PMID 25353560, S2CID 25003349, arXiv:1212.3841 , doi:10.1103/physreve.89.022922, (原始內容存檔於2024-06-04) 
  16. ^ Nicely, Thomas R., New maximal prime gaps and first occurrences, Mathematics of Computation, 1999, 68 (227): 1311–1315, Bibcode:1999MaCom..68.1311N, MR 1627813, doi:10.1090/S0025-5718-99-01065-0  .

外部連結