克拉梅尔猜想
数学上的克拉梅尔猜想(Cramér's conjecture)是瑞典数学家哈拉尔德·克拉梅尔在1937年提出的关于素数间隙的猜想。[1]该猜想是说:
- ,
这里代表第个素数。该猜想到现在仍未证出或被否证。
关于素数间隙的条件结果
克拉梅尔也提出另一个较弱的关于素数间隙的猜想,指出在黎曼猜想成立的状况下,有
- 。[1]
目前这方面最好的无条件结果是
而这点由R·C·贝克(R. C. Baker)、格林·哈曼和平茨·亚诺什三人证出。[2]
另一方面,E·韦斯钦蒂乌斯(E. Westzynthius)于1931年证明素数间隙成长速度快过对数,也就是说,[3]
罗伯特·亚历山大·兰金改进了他的结果,[4]并证明道
埃尔德什·帕尔猜想表示上式的左侧趋近于无限,而这点于2014年由凯文·福特、本·格林、谢尔盖·科尼亚金和陶哲轩四人组。[5]以及詹姆斯·梅纳德分别证出。[6]这两组人马在该年稍晚将该结果以 因子进行改进。[7]
探索性论证
克拉梅尔猜想是基于本质上探索性的概率模型之上的,在其中一个大小为x的数是素数的概率是 。而该结果又称作“克拉梅尔随机模型”(Cramér random model)或“克拉梅尔素数模型”(Cramér model of the primes)。[8]
然而,安德鲁·格兰维尔指出,[9]根据迈尔定理,克拉梅尔随机模型不能适切地描述素数在短区间上的分布,而在考虑可除性后,修正版克拉梅尔模型指向 (A125313),其中 是欧拉-马斯刻若尼常数。平茨·亚诺什则认为该比值的上极限可能发散至无限;[10]
类似地,伦纳德·阿德曼和凯文·麦柯利(Kevin McCurley)写道:
- “由于H. Maier关于相邻素数间隙的工作之故,学界对克拉梅尔猜想的确实公式起了疑问…(中略)因此很有可能对于任意的常数 而言,总存在一个常数,使得 和 有一个素数。”[11]
类似地,罗宾·维瑟(Robin Visser)写道:
- “事实上,由于格兰维尔的工作之故,现在学界普遍相信克拉梅尔猜想是错的。实际上也确实有迈尔定理等关于短区间的定理,和克拉梅尔模型难以兼容。”[12]
相关猜想和探索
丹尼尔·尚克斯猜想表示对素数间隙而言,下列比克拉梅尔猜想来得强的非病态公式成立:[13]
J·H·卡德韦尔(J.H. Cadwell)[14]则提出下列何素数间隙有关的公式: 该公式和尚克斯猜想在形式上一致,但同时提出了低次项。
马雷克·沃尔夫(Marek Wolf)[15]则猜想在以素数计数函数 表示的状况下,最大素数间隙 如下:
其中 和 是孪生素数常数的两倍,可见A005597和A114907的相关内容。再一次地,该公式和尚克斯猜想在形式上一致,但同时提出了如下的低次项:
托马斯·雷·奈斯利(发现奔腾浮点除错误的数学家)曾对许多大素数间隙进行计算,[16]他借由下列公式来计算素数间隙与克拉梅尔猜想相契合的程度:
他写道“即使对于已知最大的素数间隙, 的值都维持在1.13左右”。
参见
参考资料
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