哈斯圖
哈斯圖（英語：Hasse 發音為/ˈhæsə/, 德語: /ˈhasə/）、在數學分支序理論中，是用來表示有限偏序集的一種數學圖表，它是一種圖形形式的對偏序集的傳遞簡約。具體的說，對於偏序集合(S, ≤)，把S的每個元素表示為平面上的頂點，然後若元素y覆蓋x（就是說，x < y並且沒有z使得 x < z < y），則繪製從x到y向上的線段或弧線。這些弧線可以相互交叉但不能觸及任何非其端點的頂點。帶有標註的頂點的這種圖唯一確定這個集合的偏序。
哈斯圖得名於德國數學家赫爾穆特·哈斯；依據Birkhoff (1948)，這麼叫是因為哈斯有效的利用了它們。但是哈斯不是第一個使用它們的人，它們早就出現在如Vogt (1895)中。儘管哈斯圖被設計為手工繪製偏序集合的技術，最近已經使用圖繪製技術自動來生成它們了。[1]
術語「哈斯圖」還可以稱呼作為抽象有向無環圖的傳遞簡約，獨立於這個圖的任何繪製形式，但是這裏不採用這種用法。
例子
- 集合{ 1, 2, 3, 4 }的所有15個劃分，按精細度（就是更細劃分小於更粗劃分）排序，有哈斯圖:
一個「良好」的哈斯圖
儘管哈斯圖是簡單的處理有限偏序集的直觀工具，繪製出好的哈斯圖是非常困難的。原因是對於給定偏序集有任意多種可能的繪圖方式。簡單的技術就是開始於這個次序的最小元並逐步增加上更大的元素，這經常產生非常窘迫的結果：很容易丟失了這個次序的對稱性和內部結構。
下面的例子展示這個問題。考慮集合S = {a, b, c, d}的冪集 ，就是說S的所有自己的集合，按照子集包含 來排序。下面是這個偏序的三個不同哈斯圖:
通過使得在這個冪集中每個集合的y坐標成比例於集合的勢，最左圖示展示了這個冪集是等級偏序集。中間圖示有相同的等級結構，但使得某些邊比其他邊長，它把這個冪集的結構強調為兩個三維立方體的聯合：在兩個立方體中下面的那個中的頂點表示不包含S的某個特定元素比如d的集合，而上面立方體的頂點表示包含d的集合。最右圖示展示了這個結構的某種內部對稱性。
註釋
- ^ E.g., see Di Battista & Tamassia (1988) and Freese (2004).
引用
- Baker, K. A.; Fishburn, P.; Roberts, F. S., Partial orders of dimension 2, Networks, 1971, 2 (1): 11–28, doi:10.1002/net.3230020103.
- Bertolazzi, R; Di Battista, G.; Mannino, C.; Tamassia, R., Optimal upward planarity testing of single-source digraphs, Proc. 1st European Symposium on Algorithms (ESA '93), Lecture Notes in Computer Science 726, Springer-Verlag: 37–48, 1993, doi:10.1007/3-540-57273-2_42.
- Birkhoff, Garrett, Lattice Theory Revised, American Mathematical Society, 1948.
- Chan, Hubert, A parameterized algorithm for upward planarity testing, Proc. 12th European Symposium on Algorithms (ESA '04), Lecture Notes in Computer Science 3221, Springer-Verlag: 157–168, 2004[永久失效連結].
- Di Battista, G.; Tamassia, R., Algorithms for plane representation of acyclic digraphs, Theoretical Computer Science, 1988, 61: 175–178, doi:10.1016/0304-3975(88)90123-5.
- Freese, Ralph, Automated lattice drawing, Concept Lattices, Lecture Notes in Computer Science 2961, Springer-Verlag: 589–590, 2004. An extended preprint is available online: [1]Portuguese Web Archive的存檔，存檔日期2016-03-14.
- Garg, Ashim; Tamassia, Roberto, Upward planarity testing, Order, 1995a, 12 (2): 109–133, doi:10.1007/BF01108622.
- Garg, Ashim; Tamassia, Roberto, On the computational complexity of upward and rectilinear planarity testing, Graph Drawing (Proc. GD '94), LectureNotes in Computer Science 894, Springer-Verlag: 286–297, 1995b, doi:10.1007/3-540-58950-3_384.
- Jünger, Michael; Leipert, Sebastian, Level planar embedding in linear time, Graph Drawing (Proc. GD '99): 72–81, 1999, doi:10.1007/3-540-46648-7_7.
- Vogt, Henri Gustav, Leçons sur la résolution algébrique des équations, Nony: 91, 1895.
