外爾方程式

在量子力學及量子場論等領域，外爾方程式（英語：Weyl Equation）為一相對論量子力學的波動方程式，用以描述無質量的自旋½粒子。其以德國數學家赫爾曼·外爾為名。

方程式

外爾方程式的廣義形式可寫為：^[1]^[2]

\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0

在SI單位中可寫為：

I_{2}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\sigma _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\sigma _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\sigma _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}=0

其中

\sigma _{\mu }=(\sigma _{0},\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})=(I_{2},\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})

為一向量。μ = 0分量為2 × 2 單位矩陣；μ = 1,2,3分量為包立矩陣。ψ則是波函數，為外爾旋量一例。

其組成有ψ_L與ψ_R，分別為左手（Left-handed）外爾旋量及右手（Right-handed）外爾旋量，各自有兩個分量。兩者皆有下列形式：

\psi ={\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\end{pmatrix}}=\chi e^{-i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}=\chi e^{-i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }

其中

\chi ={\begin{pmatrix}\chi _{1}\\\chi _{2}\\\end{pmatrix}}

為具有二常數分量之旋量。

既然粒子是不具質量的，亦即m = 0，動量p的範數為波向量k的簡單乘積，由德布羅伊關係所描述：

|\mathbf {p} |=\hbar |\mathbf {k} |=\hbar \omega /c\,\rightarrow \,|\mathbf {k} |=\omega /c

方程式可以左手及右手旋量來表示：

{\begin{aligned}&\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{R}=0\\&{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{L}=0\end{aligned}}

透過拉格朗日密度可得方程式：

{\mathcal {L}}=i\psi _{R}^{\dagger }\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{R}

{\mathcal {L}}=i\psi _{L}^{\dagger }{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{L}

將旋量及旋量的埃爾米特伴隨（以 $\dagger$ 標記）當作獨立變數處理，則可得外爾方程式。

^ Quantum Mechanics, E. Abers, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0
^ The Cambridge Handbook of Physics Formulas, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2.

Quantum Field Theory, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2008, ISBN 978-0-07-154382-8
Particle Physics (2nd Edition), B.R. Martin, G. Shaw, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-470-03294-7
Supersymmetry P. Labelle, Demystified, McGraw-Hill (USA), 2010, ISBN 978-0-07-163641-4
The Road to Reality, Roger Penrose, Vintage books, 2007, ISBN 0-679-77631-1