拉普拉斯逆轉換
在數學中,函數的拉普拉斯逆轉換是一個分段連續的實函數,滿足如下性質:
其中,表示拉普拉斯轉換。
可以證明:如果函數具有拉普拉斯逆轉換,則唯一(考慮在勒貝格測度為零的點集上彼此不同的函數)。這個定理由馬提亞·萊奇於1903年首先證明,因而稱之為萊奇定理。[1][2]
梅林反演公式
拉普拉斯逆轉換的積分形式,稱為梅林反演公式(英語:Mellin's inverse formula)、布羅米奇積分或傅立葉-梅林積分,由線積分定義:
積分路徑是複數平面中的垂線 ,其中 大於 所有奇異點的實部,且 在積分路徑上有界(例如積分路徑位於 收斂域內)。當所有奇異點位於左半平面內,或 是整函數時,可以將 置零,此時上述積分退化為傅立葉逆轉換。
在實踐中,復積分的計算可以通過柯西留數定理完成。
珀斯特反演公式
拉普拉斯逆轉換的微分形式,稱為珀斯特反演公式(英語:Post's inversion formula),以數學家埃米爾·珀斯特 (Emil Post)命名, [3]是一個看似簡便但並不常用的拉普拉斯逆轉換計算公式。
公式表述如下:設 為區間[0, +∞) 的指數階函數,存在實數b ,使 滿足:
則對於任意 , 的拉普拉斯轉換均存在且對於s無限可微。設 是 的拉普拉斯轉換,則 可由下式定義:
其中 , 是 對 的k階導數。
分析公式可以看出,該方法需要計算函數 的任意高階導數,這在大多數應用場景下並不現實。
隨着個人電腦的出現,該公式主要用於處理拉普拉斯逆轉換的近似或漸近分析,及通過格倫瓦爾德-萊特尼科夫(Grünwald-Letnikov)微積分計算導數。
隨着計算科學的進步,珀斯特反演公式引起了人們興趣,由於其不需要 的具體極點坐標,通過數次逆梅林轉換,可能實現對黎曼猜想的漸近分析。
軟件工具
- InverseLaplaceTransform (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館):在Mathematica中求拉普拉斯逆轉換的解析解
- 使用 Mathematica 中的複數域對拉普拉斯轉換進行多精度數值反演 (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)[4]
- ilaplace (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館):在MATLAB中求拉普拉斯逆轉換的解析解
- Matlab 中拉普拉斯轉換的數值反演
- Matlab中基於集中矩陣指數函數的拉普拉斯轉換數值反演 (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)
相關條目
參考連結
- ^ Cohen, A. M. Numerical Methods for Laplace Transform Inversion. Numerical Methods and Algorithms 5. 2007: 23–44. ISBN 978-0-387-28261-9. doi:10.1007/978-0-387-68855-8_2.
- ^ Lerch, M. Sur un point de la théorie des fonctions génératrices d'Abel. Acta Mathematica. 1903, 27: 339–351. doi:10.1007/BF02421315 .
- ^ Post, Emil L. Generalized differentiation. Transactions of the American Mathematical Society. 1930, 32 (4): 723–781. ISSN 0002-9947. doi:10.1090/S0002-9947-1930-1501560-X .
- ^ Abate, J.; Valkó, P. P. Multi-precision Laplace transform inversion. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2004, 60 (5): 979. Bibcode:2004IJNME..60..979A. S2CID 119889438. doi:10.1002/nme.995.
相關書目
- Davies, B. J., Integral transforms and their applications 3rd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2002, ISBN 978-0-387-95314-4
- Manzhirov, A. V.; Polyanin, Andrei D., Handbook of integral equations, London: CRC Press, 1998, ISBN 978-0-8493-2876-3
- Boas, Mary, Mathematical Methods in the physical sciences , John Wiley & Sons: 662, 1983, ISBN 0-471-04409-1 (p. 662 or search Index for "Bromwich Integral", a nice explanation showing the connection to the Fourier transform)
- Widder, D. V., The Laplace Transform, Princeton University Press, 1946
- Elementary inversion of the Laplace transform (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館). Bryan, Kurt. Accessed June 14, 2006.
外部連結
本條目含有來自PlanetMath《Mellin's inverse formula》的內容,版權遵守共享創意協定:署名-相同方式共用協定。