拉普拉斯逆变换
在数学中,函数的拉普拉斯逆变换是一个分段连续的实函数,满足如下性质:
其中,表示拉普拉斯变换。
可以证明:如果函数具有拉普拉斯逆变换,则唯一(考虑在勒贝格测度为零的点集上彼此不同的函数)。这个定理由马提亚·莱奇于1903年首先证明,因而称之为莱奇定理。[1][2]
梅林反演公式
拉普拉斯逆变换的积分形式,称为梅林反演公式(英语:Mellin's inverse formula)、布罗米奇积分或傅里叶-梅林积分,由线积分定义:
积分路径是复平面中的垂线 ,其中 大于 所有奇点的实部,且 在积分路径上有界(例如积分路径位于 收敛域内)。当所有奇点位于左半平面内,或 是整函数时,可以将 置零,此时上述积分退化为傅立叶逆变换。
在实践中,复积分的计算可以通过柯西留数定理完成。
珀斯特反演公式
拉普拉斯逆变换的微分形式,称为珀斯特反演公式(英语:Post's inversion formula),以数学家埃米尔·珀斯特 (Emil Post)命名, [3]是一个看似简便但并不常用的拉普拉斯逆变换计算公式。
公式表述如下:设 为区间[0, +∞) 的指数阶函数,存在实数b ,使 满足:
则对于任意 , 的拉普拉斯变换均存在且对于s无限可微。设 是 的拉普拉斯变换,则 可由下式定义:
其中 , 是 对 的k阶导数。
分析公式可以看出,该方法需要计算函数 的任意高阶导数,这在大多数应用场景下并不现实。
随着个人电脑的出现,该公式主要用于处理拉普拉斯逆变换的近似或渐近分析,及通过格伦瓦尔德-莱特尼科夫(Grünwald-Letnikov)微积分计算导数。
随着计算科学的进步,珀斯特反演公式引起了人们兴趣,由于其不需要 的具体极点坐标,通过数次逆梅林变换,可能实现对黎曼猜想的渐近分析。
软件工具
- InverseLaplaceTransform (页面存档备份,存于互联网档案馆):在Mathematica中求拉普拉斯逆变换的解析解
- 使用 Mathematica 中的复数域对拉普拉斯变换进行多精度数值反演 (页面存档备份,存于互联网档案馆)[4]
- ilaplace (页面存档备份,存于互联网档案馆):在MATLAB中求拉普拉斯逆变换的解析解
- Matlab 中拉普拉斯变换的数值反演
- Matlab中基于集中矩阵指数函数的拉普拉斯变换数值反演 (页面存档备份,存于互联网档案馆)
相关条目
参考链接
- ^ Cohen, A. M. Numerical Methods for Laplace Transform Inversion. Numerical Methods and Algorithms 5. 2007: 23–44. ISBN 978-0-387-28261-9. doi:10.1007/978-0-387-68855-8_2.
- ^ Lerch, M. Sur un point de la théorie des fonctions génératrices d'Abel. Acta Mathematica. 1903, 27: 339–351. doi:10.1007/BF02421315 .
- ^ Post, Emil L. Generalized differentiation. Transactions of the American Mathematical Society. 1930, 32 (4): 723–781. ISSN 0002-9947. doi:10.1090/S0002-9947-1930-1501560-X .
- ^ Abate, J.; Valkó, P. P. Multi-precision Laplace transform inversion. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2004, 60 (5): 979. Bibcode:2004IJNME..60..979A. S2CID 119889438. doi:10.1002/nme.995.
相关书目
- Davies, B. J., Integral transforms and their applications 3rd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2002, ISBN 978-0-387-95314-4
- Manzhirov, A. V.; Polyanin, Andrei D., Handbook of integral equations, London: CRC Press, 1998, ISBN 978-0-8493-2876-3
- Boas, Mary, Mathematical Methods in the physical sciences , John Wiley & Sons: 662, 1983, ISBN 0-471-04409-1 (p. 662 or search Index for "Bromwich Integral", a nice explanation showing the connection to the Fourier transform)
- Widder, D. V., The Laplace Transform, Princeton University Press, 1946
- Elementary inversion of the Laplace transform (页面存档备份,存于互联网档案馆). Bryan, Kurt. Accessed June 14, 2006.
外部链接
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