玻恩–朗德方程

玻恩－朗德方程（英語：Born–Landé equation）是由德國化學家馬克斯·玻恩和阿爾弗雷德·朗德提出的一個計算離子化合物晶格能的公式。1918年^[1]，馬克斯·玻恩和阿爾弗雷德·朗德提出晶格能的計算公式可由離子晶格的靜電勢和推斥型勢能概念推導出來^[2]。

E=-{\frac {N_{A}Mz^{+}z^{-}e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r_{0}}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)

其中：

推導

離子晶體可以用硬的彈性球模型來描述，它們之間通過陰陽離子的靜電引力結合在一起。它們的平衡距離就是靜電引力與短距斥力相平衡的位置。

一對電量相等、電性相反的離子間的靜電勢 $E_{\text{pair}}$ 為：

E_{\text{pair}}=-{\frac {z^{2}e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}

其中：

z = 一個離子所帶電荷

e = 元電荷，大約1.6022×10⁻¹⁹ C；

4πε₀ = 1.112×10⁻¹⁰ C²/(J·m)；

r₀ = 最近離子的距離

對於陰陽離子個數比1:1的簡單晶體，對一個離子和晶格中其他離子的相互作用力求和可以算出 $E_{M}$ ，有時稱作馬德堡能或晶格能：

E_{M}=-{\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0}r}}

其中：

M

= 馬德隆常數，取決於晶體中的幾何排列；

r

= 最近不同電性離子的距離

玻恩和朗德認為晶體中離子的排斥作用與 $1/r^{n}$ 成正比，所以推斥能 $E_{R}$ 可以表示為：

\,E_{R}={\frac {B}{r^{n}}}

其中：

B

= 表示推斥作用強度的常數

r

= 最近不同電性離子的距離

n

= 玻恩指數，通常在5到12之間，表示某種晶體的壓縮性

因此，晶體中一個離子總的勢能可表示為馬德隆能和推斥勢能的和：

E(r)=-{\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0}r}}+{\frac {B}{r^{n}}}

將這個能量對 $r$ 微分即可得到用平衡距離 $r_{0}$ 表示未知常數 $B$ 的關係式：

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} r}}&={\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}-{\frac {nB}{r^{n+1}}}\\0&={\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0}r_{0}^{2}}}-{\frac {nB}{r_{0}^{n+1}}}\\r_{0}&=\left({\frac {4\pi \epsilon _{0}nB}{z^{2}e^{2}M}}\right)^{\frac {1}{n-1}}\\B&={\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0}n}}r_{0}^{n-1}\end{aligned}}

求出最小推斥勢能並將 $B$ 用含有 $r_{0}$ 代入即可得到玻恩－朗德方程：

E(r_{0})=-{\frac {Mz^{2}e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r_{0}}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)

玻恩－朗德方程的計算結果與實驗符合得較好^[2]：

^ Brown, I. David. The chemical bond in inorganic chemistry : the bond valence model Reprint. New York: Oxford University Press. 2002. ISBN 0-19-850870-0.
^ ^2.0 ^2.1 Johnson, the Open University ; RSC ; edited by David. Metals and chemical change 1. publ. Cambridge: Royal Society of Chemistry. 2002. ISBN 0-85404-665-8.
^ Cotton, F. Albert; Wilkinson, Geoffrey, Advanced Inorganic Chemistry 4th, New York: Wiley, 1980, ISBN 0-471-02775-8