管狀鄰域

在數學中，一個光滑流形的子流形的管狀鄰域是它周圍的一個開集，與法叢類似。

一個藍色的曲線，和垂直於它的一些綠色的直線。直線在條帶內的小部分為紅色。

上圖的近距離觀察是這樣。曲線是藍色，它的管狀鄰域T是紅色。用文章中的符號，曲線為S，包含曲線的空間為M，並且T=j(N).

法叢N的示意圖，零截線N₀為藍色。變換j將N₀映射到上圖中的曲線S，將N映射到S的管狀鄰域。

管狀鄰域的想法可以用一個簡單的例子說明。考慮平面內一個沒有自交的光滑曲線。在曲線的每一個點處作一條與這個曲線垂直的直線。這些直線之間會以一種很複雜的形式相交，除非這條曲線是直的。然而，如果只觀察臨近曲線的一個狹窄的條帶，這些直線在條帶內的部分不會相交，並會沒有縫隙地覆蓋這個條帶。這個條帶就是一個管狀鄰域。

一般地，令S為流形M的一個子流形，令N為在M上S的法叢。這裏S扮演曲線的角色，M扮演包含曲線的空間的角色。考慮自然映射

$i:N_{0}\rightarrow S$

建立起N的零截線N₀與M的一個子流形S之間的雙射關係。關於值在M中的全部法叢N的這個映射的一個外延j，使j(N)是M上的一個開集，並且j是N與j(N)的一個同胚，稱作管狀鄰域。

法向管

一個光滑曲線的法向管是由一些圓盤的並定義的流形，使得

• 所有的圓盤有相同的固定半徑
• 圓盤的中心都落在曲線上
• 每個圓盤都落在曲線的法平面上

正式定義

令$S\subseteq M$光滑流形。$S$在$M$中的管狀鄰域是一個向量叢$\pi :E\to S$伴隨一個光滑映射$J:E\to M$使得

• $J\circ s_{0}=i$, 其中$i:S\hookrightarrow M$是嵌入，$s_{0}$是零截面
• 存在某個$U\subseteq E$和某個$V\subseteq M$以及$s_{0}(S)\subseteq U$和$S\subseteq V$使得$J|_{U}:U\to V$是一個微分同胚。

一般化

一般而言，光滑流形可以生成廣義管狀鄰域，比如正規鄰域，或者龐加萊空間的球面纖維化。

這些一般化常被用於構造（穩定）法叢的對應物，在沒有直接描述的空間中作為切叢的替代。