累積分佈函數

CDF,統計學名詞

累積分佈函數(英語:cumulative distribution function,CDF)或概率分佈函數,簡稱分佈函數,是概率密度函數的積分,能完整描述一個實隨機變量概率分佈

指數分佈的累積分佈函數
正態分佈的累積分佈函數

在標量連續分佈的情況下,它給出了從負無窮到概率密度函數下的面積。 累積分佈函數也用於指定多元隨機變量英語Multivariate random variable的分佈。

定義

對於所有實數值的隨機變量  ,累積分佈函數定義如下[1]:p. 77

  Eq.1

其中右側表示隨機變量 取值小於或等於 概率

對於 位於半閉區間  的概率,其中 ,因此定義是[1]:p. 84:

  Eq.2

在上面的定義中,「小於或等於」符號「≤」是一種約定,不是普遍使用的(例如匈牙利文獻使用「<」),但這種區別對於離散分佈很重要。二項式分佈泊松分佈的表格的正確使用取決於此約定。此外,像數學家保羅·皮埃爾·萊維(Paul Lévy)的特徵函數反演公式等重要公式也依賴於「小於或等於」公式。

性質

  • 有界性[2]
    •  
    •  
  • 單調性
    •  
  • 右連續性:
    •  

 之值落在一區間 之內的概率為

 

一隨機變量 的CDF與其PDF的關係為

 

反函數

若累積分佈函數   是連續的嚴格增函數,則存在其反函數 。累積分佈函數的反函數可以用來生成服從該隨機分佈的隨機變量。設若 是概率分佈 的累積分佈函數,並存在反函數 。若  區間上均勻分佈的隨機變量,則 服從 分佈。

互補累積分佈函數

互補累積分佈函數(complementary cumulative distribution function、CCDF),是對連續函數,所有大於 的值,其出現概率的和。

 

參見

參考

  1. ^ 1.0 1.1 Park, Kun Il. Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications. Springer. 2018. ISBN 978-3-319-68074-3. 
  2. ^ 《概率論與數理統計教程》茆詩松 程依明 濮曉龍