累积分布函数

CDF,統計學名詞

累积分布函数(英语:cumulative distribution function,CDF)或概率分布函数,简称分布函数,是概率密度函数的积分,能完整描述一个实随机变量概率分布

指数分布的累积分布函数
常态分布的累积分布函数

在标量连续分布的情况下,它给出了从负无穷到概率密度函数下的面积。 累积分布函数也用于指定多元随机变量英语Multivariate random variable的分布。

定义

对于所有实数值的随机变量  ,累积分布函数定义如下[1]:p. 77

  Eq.1

其中右侧表示随机变量 取值小于或等于 概率

对于 位于半闭区间  的概率,其中 ,因此定义是[1]:p. 84:

  Eq.2

在上面的定义中,“小于或等于”符号“≤”是一种约定,不是普遍使用的(例如匈牙利文献使用“<”),但这种区别对于离散分布很重要。二项式分布泊松分布的表格的正确使用取决于此约定。此外,像数学家保罗·皮埃尔·莱维(Paul Lévy)的特征函数反演公式等重要公式也依赖于“小于或等于”公式。

性质

  • 有界性[2]
    •  
    •  
  • 单调性
    •  
  • 右连续性:
    •  

 之值落在一区间 之内的概率为

 

一随机变量 的CDF与其PDF的关系为

 

反函数

若累积分布函数   是连续的严格增函数,则存在其反函数 。累积分布函数的反函数可以用来生成服从该随机分布的随机变量。设若 是概率分布 的累积分布函数,并存在反函数 。若  区间上均匀分布的随机变量,则 服从 分布。

互补累积分布函数

互补累积分布函数(complementary cumulative distribution function、CCDF),是对连续函数,所有大于 的值,其出现概率的和。

 

参见

参考

  1. ^ 1.0 1.1 Park, Kun Il. Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications. Springer. 2018. ISBN 978-3-319-68074-3. 
  2. ^ 《概率论与数理统计教程》茆诗松 程依明 濮晓龙