菱形鑲嵌
在幾何學中，菱形鑲嵌（英語：rhombille tiling）[1]又稱為三菱形鑲嵌（英語：Order-6-3 quasiregular rhombic tiling）是一種由60° - 120°的菱形組成的平面鑲嵌，菱形具有這種形狀有時也被稱為鑽石。平面菱形鑲嵌一共有二種頂點，其中一種是三個菱形120°度角的頂點的公共頂點，另外一個是60°度角的頂點的公共頂點。
 歐幾里得平面 | ||
| 類別 | 拉夫斯鑲嵌（Laves tiling） 平面鑲嵌 | |
|---|---|---|
| 對偶多面體 | 截半六邊形鑲嵌 | |
| 數學表示法 | ||
| 考克斯特符號 |      | |
| 施萊夫利符號 | dr{6,3} | |
| 組成與佈局 | ||
| 面的種類 | 60°–120°菱形 | |
| 面的佈局 | V3.6.3.6 | |
| 對稱性 | ||
| 對稱群 | p6m, [6,3], *632 p3m1, [3[3]], *333 | |
| 旋轉對稱群 | p6, [6,3]+, (632) p3, [3[3]]+, (333) | |
| 特性 | ||
| 邊可遞、 面可遞 | ||
| 圖像 | ||
| ||
菱形鑲嵌是19世紀時英國人流行的裝飾[2]，亦可以稱為：歪斜的方塊、弄倒的積木、翻倒的方塊（英語：tumbling blocks）[3]、可逆立方體（英語：reversible cubes）或骰子網格（英語：dice lattice）。
性質
菱形鑲嵌可以視為六邊形鑲嵌以六邊形的形心做為三個菱形的公共頂點所做的切割，每個菱形的對角線比是 。其為截半六邊形鑲嵌或戈薇網格的對偶，由於其為半正鑲嵌的對偶，因此被歸類為拉夫斯鑲嵌（英語：Laves tiling），是11種半正鑲嵌對偶之一，在一面體鑲嵌記號中以[3.6.3.6]表示[4]。
它是56個可以由四邊形完成密鋪得等面鑲嵌之一[5]，並且是8中具有邊位於同一條直線上的對稱鑲嵌之一[6]。
菱形鑲嵌可以嵌入成三維整數方格的子集，所組成的點(x,y,z)滿足|x + y + z| ≤ 1，在這種狀態下，兩個頂點相鄰當且僅當相應網格點僅距離彼此單位長，並且使得在鑲嵌中的任意兩個頂點之間的最短路徑的邊數是一樣的相應網格點之間的曼哈頓距離。因此，菱形鑲嵌可以作為無限單位距離圖和局部立方體的一個示例[7]。
藝術和裝飾
菱形鑲嵌可以被解釋為一組兩種不同方式的立方體的等角投影視圖，形成一個與可逆圖相關的內克爾立方體。在這種情況下它被稱為「可逆立方體」的錯覺[8]，其外觀看似兩種方向共存的立方體，因為若一個形象可以解釋成不止一種樣子，我們的大腦就會使這形象在這些不同的解釋之間來回擺動[9]。
在M. C. 艾雪的作品《變形I》、《變形II》和《變形III》[10]中艾雪採用這種可解釋為兩種不同方向立方體的密鋪作為二維和三維形式之間變形的一種方式[11]。在他的其他作品中，如《Cycle》（1938）中，艾雪使用了與二維和三維立體鑲嵌之間的張力：在他畫的建築中，同時具有較大的立方體塊作為建築元素（畫等距）和樓上露台菱形鑲嵌的瓷磚。從露台立方體走過去下樓梯的一個人隨着高度的下降，逐漸變成二維的圖形，又逐漸轉化為立方體成為建築物的一部分，最後變成露台地板瓷磚的菱形鑲嵌，這種牽扯到維度的變化就是他的畫風[12][13]。
相關多面體與鑲嵌
菱形鑲嵌是半正鑲嵌對偶家族的一部分，對應的對偶為截半六邊形鑲嵌。
| 對稱性: [6,3], (*632) | [6,3]+, (632) | [1+,6,3], (*333) | [6,3+], (3*3) | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
   
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| {6,3} | t0,1{6,3} | t1{6,3} | t1,2{6,3} | t2{6,3} | t0,2{6,3} | t0,1,2{6,3} | s{6,3} | h{6,3} | h1,2{6,3} | |
| 半正對偶 | ||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
| V6.6.6 | V3.12.12 | V3.6.3.6 | V6.6.6 | V3.3.3.3.3.3 | V3.4.12.4 | V.4.6.12 | V3.3.3.3.6 | V3.3.3.3.3.3 | ||
菱形鑲嵌是考克斯特群為[n,3]的菱形多面體與鑲嵌系列的一份子，該系列始於立方體，它可以被看作是一個菱形六面體，其中菱形是從正方形開始。在這個序列中的第n個元素具有V3.n.3.n.的一個面佈局。
| 對稱群 *n32 [n,3] |
球面 | 歐氏鑲嵌 | 緊湊型雙曲鑲嵌 | 仿緊型鑲嵌 | 非緊型鑲嵌 | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| *332 [3,3] Td |
*432 [4,3] Oh |
*532 [5,3] Ih |
*632 [6,3] p6m |
*732 [7,3] |
*832 [8,3]... |
*∞32 [∞,3] |
[iπ/λ,3] | |
| 擬正頂點 佈局 |
 3.3.3.3 |
 3.4.3.4 |
 3.5.3.5 |
3.6.3.6 |
 3.7.3.7 |
 3.8.3.8 |
 3.∞.3.∞ |
 3.∞.3.∞ |
| 考克斯特紀號 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 對偶 (菱形) 頂點 佈局 |
 V3.3.3.3 |
 V3.4.3.4 |
 V3.5.3.5 |
V3.6.3.6 |
 V3.7.3.7 |
 V3.8.3.8 |
 V3.∞.3.∞ |
|
| 考克斯特紀號 |
|
|
|
|
|
|
|
|
參考文獻
- ^ Conway, John; Burgiel, Heidi; Goodman-Strass, Chaim, Chapter 21: Naming Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, The Symmetries of Things, AK Peters: 288, 2008, ISBN 978-1-56881-220-5.
- ^ 陳非 <<新周刊>>第381期 互聯網檔案館的存檔，存檔日期2014-07-14. 翻滾塊（菱形鑲嵌）第三節 第六段 [2014-6-9]
- ^ Smith, Barbara, Tumbling Blocks: New Quilts from an Old Favorite, Collector Books, 2002, ISBN 9781574327892.
- ^ Grünbaum, Branko; Shephard, G. C., Tilings and Patterns, New York: W. H. Freeman, 1987, ISBN 0-7167-1193-1. Section 2.7, Tilings with regular vertices, pp. 95–98.
- ^ Grünbaum & Shephard (1987), Figure 9.1.2, Tiling P4-42, p. 477.
- ^ Kirby, Matthew; Umble, Ronald, Edge tessellations and stamp folding puzzles, Mathematics Magazine, 2011, 84 (4): 283–289, MR 2843659, arXiv:0908.3257
, doi:10.4169/math.mag.84.4.283.
- ^ Deza, Michel; Grishukhin, Viatcheslav; Shtogrin, Mikhail, Scale-isometric polytopal graphs in hypercubes and cubic lattices: Polytopes in hypercubes and Zn, London: Imperial College Press: 150, 2004 [2014-06-08], ISBN 1-86094-421-3, MR 2051396, doi:10.1142/9781860945489, （原始內容存檔於2014-07-22）.
- ^ Warren, Howard Crosby, Human psychology, Houghton Mifflin: 262, 1919 [2014-06-09], （原始內容存檔於2014-07-28）.
- ^ Theoni Pappas, 陳以鴻譯. 《數學放輕鬆》. 新北市: 世茂出版社. 2004: P.215. ISBN 9577766110.
- ^ 1994 M. C. Escher《Metamorphosis III》 CAordon Art-Baarn-Holland
- ^ Kaplan, Craig S., Metamorphosis in Escher's art, Bridges 2008: Mathematical Connections in Art, Music and Science (PDF): 39–46, 2008 [2014-06-09], （原始內容 (PDF)存檔於2014-12-22）.
- ^ Escher, Maurits Cornelis, M.C. Escher, the Graphic Work, Taschen: 29–30, 2001 [2014-06-09], ISBN 9783822858646, （原始內容存檔於2014-07-15）.
- ^ De May, Jos, Painting after M. C. Escher, Schattschneider, D.; Emmer, M. (編), M. C. Escher's Legacy: A Centennial Celebration, Springer: 130–141, 2003.
- ^ Schleining, Lon; O'Rourke, Randy, Tricking the eyes with tumbling blocks, Treasure Chests: The Legacy of Extraordinary Boxes, Taunton Press: 58, 2003 [2014-06-09], ISBN 9781561586516, （原始內容存檔於2017-03-20）.
- ^ Tessellation Tango （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, The Mathematical Tourist, Drexel University, retrieved 2012-05-23.
