證明π是無理數

证明圆周率不是有理数

18世紀60年代,約翰·海因里希·朗伯首先證明出圓周率無理數,即不能表示成兩個整數之比。在19世紀,夏爾·埃爾米特給出了不需要微積分以外的預備知識的證明方法,此後又有瑪麗·卡特賴特英語Mary Cartwright伊萬·尼雲以及尼古拉·布爾巴基等人給出更為簡潔的證明。另外由拉茨科維奇·米克洛什的證明方法簡化了朗伯的證明方法。這些所給出證明方法都基於反證法

1882年,費迪南德·馮·林德曼進一步給出圓周率不僅為無理數,而且為超越數的證明。

朗伯的證明

1761年,朗伯通過如下所示的連分數來證明圓周率為無理數:

 

隨後朗伯證明了如果x為非零有理數則該結果必為無理數。由於tan(π/4)=1,因此有π/4為無理數,即π為無理數。

卡特賴特的證明

考慮如下積分:

 

n≥2時,可以通過分部積分法得到遞推式:

 

如果定義:

 

那麼可以得到:

 

另外,由J0(x)=2sin x以及J1=-4x cos x+4sin x,於是對於所有自然數n滿足:

 

在這裏Pn(x)與Qn(x)都是由正整數為係數以及常數且最高次數不超過n多項式(依賴於n)。

x=π/2,如果存在正整數ab滿足π/2=a/b,於是有:

 

等式右邊為整數。而由於在長度為2的區間[-1,1]時,被積函數取值範圍介於0到1,於是有0<In(x)<2,另一方面:

 

於是對於足夠大的n,會出現:

 

但在0與1之間不存在整數,矛盾,因此圓周率只能為無理數。

尼雲的證明

此證明用到的性質為圓周率為正弦函數最小正零點。

假設圓周率為有理數,即能表示成π=a/b的形式,其中ab都是整數且b≠0。不失一般性,假定ab都是正整數。現給出任意正整數n,以及x為實數,定義如下兩個函數:

 

引理一:F(0)+F(π)是一個整數。

證明:對函數f展開,每項xk的係數都是ck/n!的形式,其中ck為整數,當k<n時等於0。因此,當k<nf(k)(0)=0以及當nk≤2nf(k)(0)=ck/n!,即無論何種情況f(k)(0)都是整數,於是F(0)也是整數。

另一方面,由於f(π-x)=f(x),因此對於每個自然數k有(-1)kf(k)(π-x)=f(k)(x),特別地即有(-1)kf(k)(π)=f(k)(0),因此f(k)(π)為整數,F(π)也是整數,從而得到F(0)+F(π)是一個整數。

引理二:

 

證明:由於f(2n+2)為零多項式,因此有:

 

根據三角函數導數有sin'=cos以及cos'=-sin,再由乘積法則得到:

 

又由微積分基本定理得:

 

在這裏用到了前面所提及的圓周率的正弦函數零點性質,即sin 0=sin π=0以及cos 0=-cos π=1。

結論:由於當0<x<π時有f(x)>0以及sin x>0(在這裏是因為圓周率為正弦函數最小正零點),以及引理一與引理二說明F(0)+F(π)是正整數。又由於當0≤x≤π時有0≤x(a-bx)≤πa以及0≤sin x≤1,因此可以得到:

 

n足夠大時,該結果將會小於1,於是有F(0)+F(π)<1,從而出現矛盾。

參見