證明π是無理數

18世紀60年代，約翰·海因里希·朗伯首先證明出圓周率為無理數，即不能表示成兩個整數之比。在19世紀，夏爾·埃爾米特給出了不需要微積分以外的預備知識的證明方法，此後又有瑪麗·卡特賴特、伊萬·尼雲以及尼古拉·布爾巴基等人給出更為簡潔的證明。另外由拉茨科維奇·米克洛什的證明方法簡化了朗伯的證明方法。這些所給出證明方法都基於反證法。

1882年，費迪南德·馮·林德曼進一步給出圓周率不僅為無理數，而且為超越數的證明。

朗伯的證明

1761年，朗伯通過如下所示的連分數來證明圓周率為無理數：

$\tan x={\frac {x}{1-{\dfrac {x^{2}}{3-{\dfrac {x^{2}}{5-{\dfrac {x^{2}}{7-\ddots }}}}}}}}$

隨後朗伯證明了如果x為非零有理數則該結果必為無理數。由於tan(π/4)=1，因此有π/4為無理數，即π為無理數。

卡特賴特的證明

考慮如下積分：

$I_{n}(x)=\int _{-1}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos(xz)\mathrm {d} z$

當n≥2時，可以通過分部積分法得到遞推式：

$x^{2}I_{n}(x)=2n(2n-1)I_{n-1}(x)-4n(n-1)I_{n-2}(x)$

如果定義：

$J_{n}(x)=x^{2n+1}I_{n}(x)$

那麼可以得到：

$J_{n}(x)=2n(2n-1)J_{n-1}(x)-4n(n-1)x^{2}J_{n-2}(x)$

另外，由J₀(x)=2sin x以及J₁=-4x cos x+4sin x，於是對於所有自然數n滿足：

$J_{n}(x)=x^{2n+1}I_{n}(x)=n![P_{n}(x)\sin x+Q_{n}(x)\cos x]$

在這裡P_n(x)與Q_n(x)都是由正整數為係數以及常數且最高次數不超過n的多項式（依賴於n）。

令x=π/2，如果存在正整數a與b滿足π/2=a/b，於是有：

${\frac {a^{2n+1}}{n!}}\cdot I_{n}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=P_{n}\left({\frac {\pi }{2}}\right)\cdot b^{2n+1}$

等式右邊為整數。而由於在長度為2的區間[-1,1]時，被積函數取值範圍介於0到1，於是有0<I_n(x)<2，另一方面：

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a^{2n+1}}{n!}}=0$

於是對於足夠大的n，會出現：

$0<{\frac {a^{2n+1}\cdot I_{n}\left({\frac {\pi }{2}}\right)}{n!}}<1$

但在0與1之間不存在整數，矛盾，因此圓周率只能為無理數。

尼雲的證明

此證明用到的性質為圓周率為正弦函數最小正零點。

假設圓周率為有理數，即能表示成π=a/b的形式，其中a與b都是整數且b≠0。不失一般性，假定a與b都是正整數。現給出任意正整數n，以及x為實數，定義如下兩個函數：

${\begin{aligned}f(x)&={\frac {x^{n}(a-bx)^{n}}{n!}}\\F(x)&=f(x)-f''(x)+f^{(4)}(x)+\cdots +(-1)^{n}f^{(2n)}(x)\end{aligned}}$

引理一：F(0)+F(π)是一個整數。

證明：對函數f展開，每項x^k的係數都是c_k/n!的形式，其中c_k為整數，當k<n時等於0。因此，當k<n時f^(k)(0)=0以及當n≤k≤2n時f^(k)(0)=c_k/n!，即無論何種情況f^(k)(0)都是整數，於是F(0)也是整數。

另一方面，由於f(π-x)=f(x)，因此對於每個自然數k有(-1)^kf^(k)(π-x)=f^(k)(x)，特別地即有(-1)^kf^(k)(π)=f^(k)(0)，因此f^(k)(π)為整數，F(π)也是整數，從而得到F(0)+F(π)是一個整數。

引理二：

$\int _{0}^{\pi }f(x)\sin x\mathrm {d} x=F(0)+F(\pi )$

證明：由於f⁽²ⁿ⁺²⁾為零多項式，因此有：

$F''(x)+F(x)=f(x)$

根據三角函數的導數有sin'=cos以及cos'=-sin，再由乘積法則得到：

$[F'(x)\sin x-F\cos x]'=f(x)\sin x$

又由微積分基本定理得：

$\int _{0}^{\pi }f(x)\sin x\mathrm {d} x=[F'(x)\sin x-F\cos x]{\bigg |}_{0}^{\pi }=F(0)+F(\pi )$

在這裡用到了前面所提及的圓周率的正弦函數零點性質，即sin 0=sin π=0以及cos 0=-cos π=1。

結論：由於當0<x<π時有f(x)>0以及sin x>0（在這裡是因為圓周率為正弦函數最小正零點），以及引理一與引理二說明F(0)+F(π)是正整數。又由於當0≤x≤π時有0≤x(a-bx)≤πa以及0≤sin x≤1，因此可以得到：

$\int _{0}^{\pi }f(x)\sin x\mathrm {d} x\leqslant {\frac {\pi (\pi a)^{n}}{n!}}$

當n足夠大時，該結果將會小於1，於是有F(0)+F(π)<1，從而出現矛盾。

參見

• 證明e是無理數