σ-有限測度

σ-有限測度是測度論中的一個概念。對測度空間 $(X,\,\Sigma ,\,\mu )$ 來說，若測度 $\mu$ 其對任意 $A\in \Sigma$ 的取值 $\mu (A)$ 是一個有限的實數（而不是無窮大），那麼就稱這個測度為有限測度。若有限測度的母集合 $X$ 可表示為 $\Sigma$ 的某可測集合序列 $\{E_{n}\in \Sigma \}_{n\in \mathbb {N} }$ 的併集：

$X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}$

則麼就稱這個測度為σ-有限測度。進一步的，如果 $X$ 的某個子集能夠表示為 $\Sigma$ 之中的某可測集合序列的併集，那麼也稱這個子集擁有σ-有限測度。

例子

• 勒貝格測度：實數集$\mathbb {R}$上的勒貝格測度不是有限測度，因為整個實數軸的「長度」，也就是全集$\mathbb {R}$的測度是無窮大。但是，勒貝格測度是σ-有限測度，因為$\mathbb {R}$可以表示為所有形如$[-n,n]$的區間的併集，而每個區間的測度都是有限的（等於$2n$）：

  $\mathbb {R} =\bigcup _{n=1}^{\infty }[-n,n].$

• 計數測度：實數集$\mathbb {R}$上的計數測度，是將任何的子集的元素「個數」作為測度值的測度：含有無窮多個元素的子集的測度就是無窮大。這個測度不是σ-有限測度，因為實數集是不可數的，它不能表示成可數個只包含有限個元素的子集的併集。不過，自然數集$\mathbb {N}$上的計數測度就是σ-有限測度，因為全集$\mathbb {N}$可以（很自然地）表示成可數個測度為1的子集的併集：

  $\mathbb {N} =\bigcup _{n=1}^{\infty }\{n\}.$

• 局部緊群：設$G$是一個局部緊的拓撲群，並且是σ-緊緻的，那麼群$G$上的哈爾測度是σ-有限測度。

性質

σ-有限測度中，全集可以表示為${\mathcal {A}}$中的可數個有限測度子集的併集：$\Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}$，但實際上表示的方法可以不止一種。比如說，令

$\forall n\in \mathbb {N} ,\;\;C_{n}=\bigcup _{k=1}^{n}B_{k}\in {\mathcal {A}},$

那麼$\forall n\in \mathbb {N} ,\;\;\mu (C_{n})\leqslant \sum _{k=1}^{n}\mu (B_{k})$，也就是說$\left(C_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$也是一系列有限測度的子集，並且$C_{1}\subset C_{2}\subset \cdots \subset C_{n}\subset C_{n+1}\subset \cdots$，所以$\mu (C_{1})\leqslant \mu (C_{2})\leqslant \cdots \leqslant \mu (C_{n})\leqslant \mu (C_{n+1})\leqslant \cdots$。隨着下標增大，$C_{n}$的測度越來越大，趨向正無窮大，並且$\Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }C_{n}$。這稱為全集的升序表示。而如果令：

$C_{0}=\varnothing ,\;\;\forall n\in \mathbb {N} ,\;\;D_{n}=C_{n}\setminus C_{n-1}\in {\mathcal {A}},$，

那麼$\left(D_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$也是一系列測度有限，並且兩兩不相交的集合（交集為空集），並且$\Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }D_{n}$。$\left(D_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$被稱為全集的一個劃分，或者稱為全集的不交覆蓋。

半有限和一致σ-有限

與σ-有限測度的概念相關的概念還有半有限測度和一致σ-有限測度。一致σ-有限測度是一類特殊的σ-有限測度。它不僅要求全集$\Omega$能夠表示為${\mathcal {A}}$中的可數個有限測度子集的併集：$\Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}$，而且要求存在一個正實數$m$，使得這些子集的測度（的絕對值）都小於等於$m$。

$\Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n},\qquad B_{n}\in {\mathcal {A}},\quad |\mu (B_{n})|<m,$

勒貝格測度和自然數集上的計數測度都是一致σ-有限測度。但並非所有的σ-有限測度都是一致σ-有限測度。比如說自然數集上如下定義的σ-有限測度$\mu _{c}$：

$\forall E\in \mathbb {N} ,\;\;\mu _{c}(E)=\sum _{k\in E}k$

就不是一致σ-有限測度。

半有限測度則是比σ-有限測度更寬泛的一種定義。如果$(\Omega ,{\mathcal {A}})$上的一個測度中，任意一個測度為無窮大的子集都包含有測度為任意大有限值的子集，那麼就說這個測度是半有限測度。任何的σ-有限測度都是半有限測度，只要考慮它的升序表示，但反之則不然。比如說實數集上的計數測度就是半有限測度，但它並不是σ-有限測度。

與概率測度的等價性

給定$(\Omega ,{\mathcal {A}})$，其上的任何σ-有限測度$\mu$都等價於一個$(\Omega ,{\mathcal {A}})$的概率測度。具體的構造方法是：令$\left(B_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$為全集$\Omega$的一個不交覆蓋（劃分），並且每個$B_{n}$在$\mu$下的測度都是有限的；再令$\left(\omega _{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$為一個由正實數構成的數列，並且級數和

$\sum _{n=1}^{\infty }w_{n}=1.$

那麼以下方式定義的測度$\nu$：

$\forall A\in {\mathcal {A}},\;\;\nu (A)=\sum _{n=1}^{\infty }w_{n}{\frac {\mu (A\cap B_{n})}{\mu (B_{n})}}$

就是一個與$\mu$等價的概率測度，因為兩者有着相同的零測集。

參見

• 富比尼定理
• 葉戈羅夫定理
• 拉東-尼科迪姆定理