質數公式

質數公式，又稱素數公式，在數學領域中，表示一種能夠僅產生質數的公式。即是說，這個公式能夠一個不漏地產生所有的質數，並且對每個輸入的值，此公式產生的結果都是質數。由於質數的個數是可數的，因此一般假設輸入的值是自然數集（或整數集及其它可數集）。迄今為止，人們尚未找到易於計算且符合上述條件的質數公式，但對於質數公式應該具備的性質已經有了大量的研究。

多項式形式的質數公式

可以證明，一個整系數多項式P(n)，如果不是常數函數的話，不會是一個質數公式。證明很簡單：假設這樣的一個多項式P(n)存在。那麼P(1)將是一個質數p。接下來考慮 $P(1+kp)$ 的值。由於 $P(1)\equiv 0{\pmod {p}}$ ，對於任意整數k，我們有 $P(1+kp)\equiv 0{\pmod {p}}$ ，從而 $P(1+kp)$ 是p的倍數，但已然假設 $P$ 是質數公式，所以 $P(1+kn)$ 必須是質數，於是它就只能等於 $p$ 。也就是說，對於任意的k， $1+kp$ 都是多項式P(n) - p的一個根。但根據代數基本定理，一個非零的整系數多項式不可能有無窮多個根。故此，P(n)只能是常數函數。

應用代數數理論，可以證明更強的結果：不存在能夠對幾乎所有自然數輸入，都能產生質數的非常數的多項式P(n)。

歐拉在1772年發現，對於小於40的所有自然數，多項式

f(n)=n^{2}+n+41

的值都是質數。對於前幾個自然數n = 0, 1, 2, 3...，多項式的值是41, 43, 47, 53, 61, 71...。當n等於40時，多項式的值是1681=41×41，是一個合數。實際上，當n能被41整除的時候，P(n)也能被41整除，因而是合數。這個公式和所謂的質數螺旋有關，也和黑格納數 $163=4\cdot 41-1$ 有關。若 $p=2,3,5,11,17$ 時，其對應的多項式也有類似的性質，而 $4\cdot p-1$ 也是黑格納數。

狄利克雷定理證明了，對於互質的a和b，線性函數 $L(n)=an+b$ 能產生無窮多個質數（儘管不是對於所有的自然數n）。至於是否存在次數大於等於2的多項式，滿足對無窮多個整數，都能取到質數值，目前還沒有結論。

此外，格林-陶定理證明了另一結論：對於每個正整數k，都存在着整數對a, b，使得對於每個0與k−1之間的n， $L(n)=an+b$ 都是質數。然而，對於比較大的k，找出a和b是很困難的。目前最好的結果是對於k = 26^[1]，

P(n) = 5283234035979900n + 43142746595714191（

A204189 ）

丟番圖方程形式的質數公式

一個很著名的質數公式是以下的有26個未知數的由14個方程組成的丟番圖方程組Jones et al.（1976）：

0=wz+h+j-q

0=(gk+2g+k+1)(h+j)+h-z

0=16(k+1)^{3}(k+2)(n+1)^{2}+1-f^{2}

0=2n+p+q+z-e

0=e^{3}(e+2)(a+1)^{2}+1-o^{2}

0=(a^{2}-1)y^{2}+1-x^{2}

0=16r^{2}y^{4}(a^{2}-1)+1-u^{2}

0=n+l+v-y

0=(a^{2}-1)l^{2}+1-m^{2}

0=ai+k+1-l-i

0=((a+u^{2}(u^{2}-a))^{2}-1)(n+4dy)^{2}+1-(x+cu)^{2}

0=p+l(a-n-1)+b(2an+2a-n^{2}-2n-2)-m

0=q+y(a-p-1)+s(2ap+2a-p^{2}-2p-2)-x

0=z+pl(a-p)+t(2ap-p^{2}-1)-pm.

對於這個方程組的所有正整數解：(a,b,...,z)，k + 2都是質數。可以把這個公式改寫成多項式的形式：將14個等式記作p₁，p₂，……，p₁₄，那麼可以說，多項式 $(k+2)(1-p_{1}^{2}-p_{2}^{2}-\cdots -p_{14}^{2})$ 的輸入值(a,b,...,z)是正整數時，其值域的正值部分就是所有質數。

根據尤里·馬季亞謝維奇的一個定理，如果一個集合能夠被定義成一個丟番圖方程的解集，那麼就可以被定義為一個只有9個未知數的丟番圖方程的解集。於是，質數集合可以被定義為一個只含10個變元的多項式的正值解集。然而，這個多項式的次數極大（在10⁴⁵數量級），另一方面，也存在次數不超過4的多項式，未知數個數是58個。

帶高斯符號的質數公式

利用高斯符號 $[x]$ ，可以建立一些第n個質數的表達式：

Mills公式

第一個帶高斯函數的質數公式由W. H. Mills在1947年構造。他證明了存在實數A使得數列

[A^{3^{n}}\;]

中的每個數都是質數。最小的A稱為米爾斯常數，如果黎曼猜想成立，它的值大約為： $A\approx 1.30637788386308069046\ldots$ （ A051021）。這個質數公式並沒有什麼實際價值，因為人們對A的性質所知甚少，甚至不知道A是否為有理數。而且，除了用質數值逼近外，沒有其他計算A的方法。