西格爾引理
在數學上,特別是超越數論和丟番圖逼近的研究中,西格爾引理(Siegel's lemma)指的是從輔助函數的構造中得到的線性方程的解的界限。這些多項式的存在性由阿克塞爾·圖厄所證明:[1]圖厄的證明用到了鴿巢原理,卡爾·路德維希·西格爾在1929年出版此引理。[2]這是一個線性方程組方面純粹的存在性定理。
近年來,西格爾引理受到改進以得出比引理給出的估計更強的界限。[3]
陳述
設有一組有 個方程、 個未知數,且 的方程組,其中的方程式有着如下的形式:
在這些方程組的系數為有理數、不全為零,且以 為界的狀況下,這方程組有如下的解:
其中的 全為有理數、不全為0,且上下界如下:
Bombieri及Vaaler在1983年對 給出了如下更強的界限(Bombieri & Vaaler (1983)):
參見
參考資料
- ^ Thue, Axel. Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen. J. Reine Angew. Math. 1909, 1909 (135): 284–305. S2CID 125903243. doi:10.1515/crll.1909.135.284.
- ^ Siegel, Carl Ludwig. Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen. Abh. Preuss. Akad. Wiss. Phys. Math. Kl. 1929: 41–69., reprinted in Gesammelte Abhandlungen, volume 1; the lemma is stated on page 213
- ^ Bombieri, E.; Mueller, J. On effective measures of irrationality for and related numbers. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1983, 342: 173–196.
- ^ (Hindry & Silverman 2000) Lemma D.4.1, page 316.
- Bombieri, E.; Vaaler, J. On Siegel's lemma. Inventiones Mathematicae. 1983, 73 (1): 11–32. Bibcode:1983InMat..73...11B. S2CID 121274024. doi:10.1007/BF01393823.
- Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. Diophantine geometry. Graduate Texts in Mathematics 201. Berlin, New York: Springer-Verlag. 2000. ISBN 978-0-387-98981-5. MR 1745599.
- Wolfgang M. Schmidt. Diophantine approximation. Lecture Notes in Mathematics 785. Springer. (1980 [1996 with minor corrections]) (Pages 125-128 and 283–285)
- Wolfgang M. Schmidt. "Chapter I: Siegel's Lemma and Heights" (pages 1–33). Diophantine approximations and Diophantine equations, Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag 2000.