西格爾引理

數學上,特別是超越數論丟番圖逼近的研究中,西格爾引理(Siegel's lemma)指的是從輔助函數的構造中得到的線性方程的解的界限。這些多項式的存在性由阿克塞爾·圖厄所證明:[1]圖厄的證明用到了鴿巢原理卡爾·路德維希·西格爾在1929年出版此引理。[2]這是一個線性方程組方面純粹的存在性定理

近年來,西格爾引理受到改進以得出比引理給出的估計更強的界限。[3]

陳述

設有一組有 個方程、 個未知數,且 的方程組,其中的方程式有著如下的形式:

 
 
 

在這些方程組的係數為有理數、不全為零,且以 為界的狀況下,這方程組有如下的解:

 

其中的 全為有理數、不全為0,且上下界如下:

 [4]

Bombieri及Vaaler在1983年對 給出了如下更強的界限(Bombieri & Vaaler (1983)):

 

其中 矩陣  子式最大公因數,而 則是其轉置矩陣。他們的證明涉及了將鴿巢原理幾何數論的技巧取代的做法。

參見

參考資料

  1. ^ Thue, Axel. Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen. J. Reine Angew. Math. 1909, 1909 (135): 284–305. S2CID 125903243. doi:10.1515/crll.1909.135.284. 
  2. ^ Siegel, Carl Ludwig. Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen. Abh. Preuss. Akad. Wiss. Phys. Math. Kl. 1929: 41–69. , reprinted in Gesammelte Abhandlungen, volume 1; the lemma is stated on page 213
  3. ^ Bombieri, E.; Mueller, J. On effective measures of irrationality for   and related numbers. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1983, 342: 173–196. 
  4. ^ (Hindry & Silverman 2000) Lemma D.4.1, page 316.