完整系统

经典力学里,假若一个系统的所有的约束条件都是完整约束,则称此系统为完整系统holonomic system)。完整约束以方程表达为

其中,是每一个粒子之位置,是时间。

假若一个约束条件不能够以上述方程表达,则称此约束条件为非完整约束

假若一个系统有任何约束条件不是完整约束,则称此系统为非完整系统

转换至广义坐标

完整约束方程只跟位置、时间有关,跟速度无关。完整约束方程可以帮助消除相关的变量。假设变量 是完整约束函数 的一个参数,则可以将 从系统里所有的方程中消除。首先,必须求出 的函数 

 

将函数 代入系统里所有提到 的方程,就可以消除相关变量 

假设一个物理系统原本的自由度 。现在,新设定 个完整约束作用于此系统。那么,这系统的自由度减少为 。可以使用 个独立广义坐标 来描述这系统的运动。广义坐标的转换方程为

 

微分形式

有些时候,一个物理系统的某约束条件会以微分形式的方程来表示,而不是以上述函数形式。思考第 个约束条件的微分形式的方程:

 

其中,  分别为微分  的系数。

假若此约束方程是可积分的,也就是说,存在有一个函数 全微分满足相等关系式

 

则此约束条件是完整约束;否则,此约束条件是非完整约束。请注意到,所有的完整约束和某些非完整约束都可以表示为微分形式的方程;但是,并不是所有的非完整约束都可以这样表示。跟广义速度有关的非完整约束就不能这样表示。所以,假若知道一个约束条件的微分形式的方程,这约束条件到底是完整约束,还是非完整约束,需要看其微分形式的方程是否可积分来决定。

系统分类

为了要有条不紊地研究经典力学,必须有一个合理的分类制度。物理系统可以分类为完整系统与非完整系统。许多理论或方程成立的条件之一,就是系统里所有的约束都必须是完整约束。例如,假若一个物理系统是完整系统与单演系统,则拉格朗日方程成立的必需与足够的条件是哈密顿原理[1]

实例

 
简单摆

一个简单摆的摆锤遵守完整约束

 

其中, 是摆锤的位置, 是摆长。

刚体内部的粒子们遵守完整约束

 

其中,  ,  分别是粒子  的位置, 是它们之间的距离。

参阅

参考文献

  1. ^ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 35. ISBN 0201657023 (英语).