完整系統

在古典力學裏，假若一個系統的所有的約束條件都是完整約束，則稱此系統為完整系統（holonomic system）。完整約束以方程式表達為

f(x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \dots ,\ x_{N},\ t)=0

；

其中， $x_{i}$ 是每一個粒子 $P_{i}$ 之位置， $t$ 是時間。

假若一個約束條件不能夠以上述方程式表達，則稱此約束條件為非完整約束。

假若一個系統有任何約束條件不是完整約束，則稱此系統為非完整系統。

轉換至廣義坐標

完整約束方程式只跟位置、時間有關，跟速度無關。完整約束方程式可以幫助消除相關的變量。假設變量 $x_{d}$ 是完整約束函數 $f_{i}$ 的一個參數，則可以將 $x_{d}$ 從系統裏所有的方程式中消除。首先，必須求出 $x_{d}$ 的函數 $g_{i}$ ：

x_{d}=g_{i}(x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \dots ,\ x_{d-1},\ x_{d+1},\ \dots ,\ x_{N},\ t)

。

將函數 $g_{i}$ 代入系統裏所有提到 $x_{d}$ 的方程式，就可以消除相關變量 $x_{d}$ 。

假設一個物理系統原本的自由度是 $N$ 。現在，新設定 $h$ 個完整約束作用於此系統。那麼，這系統的自由度減少為 $m=N-h$ 。可以使用 $m$ 個獨立廣義坐標 $(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{m})$ 來描述這系統的運動。廣義坐標的轉換方程式為

x_{i}=x_{i}(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{m},\ t)\ ,\qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots N

。

微分形式

有些時候，一個物理系統的某約束條件會以微分形式的方程式來表示，而不是以上述函數形式。思考第 $i$ 個約束條件的微分形式的方程式：

\sum _{j}\ c_{ij}dq_{j}+c_{i}dt=0

；

其中， $c_{ij}$ ， $c_{i}$ 分別為微分 $dq_{j}$ 與 $dt$ 的係數。

假若此約束方程式是可積分的，也就是說，存在有一個函數 $f_{i}(q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ \dots ,\ q_{N},\ t)=0$ 的全微分滿足相等關係式

df_{i}=\sum _{j}\ c_{ij}dq_{j}+c_{i}dt=0

，

則此約束條件是完整約束；否則，此約束條件是非完整約束。請注意到，所有的完整約束和某些非完整約束都可以表示為微分形式的方程式；但是，並不是所有的非完整約束都可以這樣表示。跟廣義速度有關的非完整約束就不能這樣表示。所以，假若知道一個約束條件的微分形式的方程式，這約束條件到底是完整約束，還是非完整約束，需要看其微分形式的方程式是否可積分來決定。