离心率矢量

在航天动力学里，一个圆锥曲线的离心率矢量是一个矢量，从焦点指向近拱点，量值等于轨道的离心率标量，是个无量纲量。

计算

离心率矢量 (eccentricity vector) $\mathbf {e} \,$ 是个大小等于轨道离心率 (eccentricity ) 且方向指向近心点 (periapsis 或 pericenter) 的矢量。对开普勒轨道而言，它是个运动常数。在使用状态矢量 ($\mathbf {r} ,\mathbf {v}$) 进行轨道测定或轨道决定 (orbit determination, OD) 时，它可以决定诸多与运动有关的轨道要素，如离心率 ($e$) (eccentricity) 及半长轴 ($a$) (semi-major axis)，并可指出近心点方向，以便计算近心点引数 $\omega$ (argument of periapsis)、真近心点离角(真近点角) $\nu$ (true anomaly)。在摄动或扰动 (perturbation) 分析时, 因为实际轨道上的摄动（非开普勒）力将使密切 (osculating) 离心率矢量不断变化，故用来分析几乎为圆形的轨道时非常有用。该矢量可以由任何时间$t\!\,$的轨道状态矢量（orbital state vector）中的速度矢量$\mathbf {v} \!\,$与位置矢量$\mathbf {r} \!\,$计算出来:

${\begin{aligned}\mathbf {e} &={\mathbf {v} \times \mathbf {h} \over {\mu }}-{\mathbf {r} \over {\left|\mathbf {r} \right|}}\\&=\left({\mathbf {\left|v\right|} ^{2} \over {\mu }}-{1 \over {\left|\mathbf {r} \right|}}\right)\mathbf {r} -{\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \over {\mu }}\mathbf {v} \\\end{aligned}}$

第二个等式可以直接根据以下矢量恒等式(运算并分别集结位置和速度分量后)推导出来:

$\mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v}$

$\mathbf {v} \times \left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right)=\left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} \right)\mathbf {r} -\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \right)\mathbf {v}$

其中:

• $\mathbf {r} \,\!$ 为 位置矢量 (position vector)
• $\mathbf {v} \,\!$ 为 速度矢量 (velocity vector)
• $\mathbf {h} \,\!$ 为 比角动量矢量 (specific angular momentum vector) ($\mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v}$)
• $\mu \,\!$ 为 标准重力参数 (standard gravitational parameter)。

换另一种表示方法，离心率矢量也可以由质量为$m\!\,$的物体的角动量$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} (=m\,\mathbf {h} )$计算出来：

$\mathbf {e} ={\mathbf {v} \times \mathbf {L} \over {m\mu }}-{\mathbf {r} \over {\left|\mathbf {r} \right|}}$。

参阅

• 离心率
• 轨道
• 拉普拉斯-龙格-楞次矢量