素数阶乘

表示第一個和素數的乘積的整數

素数阶乘(又称:质数阶乘)是所有小于或等于该数的素数自然数n的素数阶乘,写作n#。例如10以下的素数有:2、3、5、7,所以10# = 7×5×3×2 = 210。第n个素数阶乘的值,写作pn#。例:第个素数为5,所以p3# = 5# = 5×3×2 = 30。 素数阶乘与阶乘不同于,素数阶乘是素数乘积阶乘自然数乘积。 素数阶乘由Harvey Dubner英语Harvey Dubner定义并命名。

pn# 是计算第n素数阶乘函数
素数阶乘n#(红色的)与 阶乘n!(绿色的)的比较

用素数定义

n个素数pn素数阶乘pn#定义为前n个素数的[1][2]

 

其中pk是第k个素数。

例如,p5#代表前五个素数的乘积:

 

前几个素数阶乘pn#是:

2630210、 2310、 30030、 510510、 9699690、 223092870、 6469693230、 ...(OEIS数列A002110

并定义p0# = 1 为空积

素数阶乘pn#的渐进递增为:

 [2]

其中:

用自然数定义

一般情况下,对于正整数n的一素数阶乘n#(或称作自然素数阶乘)也可以被定义为:[1][3]

 

其中,π(n)是素数计数函数OEIS数列A000720),表示小于或等于某个实数n的素数的个数。

它等于:

 

例如,12# 代表素数≤ 12:

 

因为π(12) = 5,所以这个算式也可以写成:

 

前几个自然素数阶乘n#是:

12663030210、 210、 210、 210、 2310、 2310

不难发现当n为合成数时,n#的值总是与(n-1)#相同。例如上面提及的12# = p5# = 11#,因为12为合成数。

n#自然对数是第一个切比雪夫函数,记为  。换句话说,若 是不大于n的素数的素数阶乘,则 ,或等价地, [4]

素数阶乘n#的渐进递增为:

 

素数阶乘的概念可以用于证明素数是无限的。(参见证明黎曼ζ函数的欧拉乘积公式

恒等式

黎曼ζ函数在超过1的正整数可以素数阶乘与 Jordan's totient function  表示:

 

素数阶乘列表(部分)

n n# pn pn#
0 1 无素数 1
1 1 2 2
2 2 3 6
3 6 5 30
4 6 7 210
5 30 11 2310
6 30 13 30030
7 210 17 510510
8 210 19 9699690
9 210 23 223092870
10 210 29 6469693230
11 2310 31 200560490130
12 2310 37 7420738134810
13 30030 41 304250263527210
14 30030 43 13082761331670030
15 30030 47 614889782588491410

参见

参考文献