abc猜想

數學猜想

abc猜想(英语:abc conjecture)是一个未解决的数学猜想,最先由约瑟夫·奥斯特莱大卫·马瑟在1985年提出。abc猜想以三个互质正整数a, b, c描述,c是a及b的和,猜想因此得名。京都大学数理解析研究所望月新一教授于2012年提出论文证明,经过8年同行审查后于2020年4月发表,但对于该证明的正确性仍存在极大争议。对此也衍生出一BOINC项目“ABC@Home”。

abc猜想若得证,数论中很多著名猜想可以立时得出。多利安·哥德费尔德称abc猜想为“丢番图分析中最重要的未解问题”。(Goldfeld 1996)

内容

对正整数  表示 质因数,称为 根基(radical)。例如

rad(16) = rad(24) = 2,
rad(17) = 17,
rad(18) = rad(2 ⋅ 32) = 2 · 3 = 6,
rad(1000000) = rad(26 ⋅ 56) = 2 ⋅ 5 = 10.

若正整数a, b, c 彼此互质,且a + b=c,“通常”会有c < rad(abc),例如:

 ,  ,   
 ,  ,   

但是也有反例,例如:

 ,  ,  :因为  ,故此 

如上有多于一个整数可被小的质数的高次幂整除,使rad(abc) < c,是较特殊的情况。ABC@Home计划目的在寻找更多这样的例子。

abc猜想(一)

对于任何 ,只存在有限个互质正整数的三元组(a, b, c),c = a + b,使得
 

abc猜想也有以下等价的表述方式:

abc猜想(二)

对于任何 ,存在常数 ,使得对于互质正整数的三元组(a, b, c),c = a + b,有:
 

abc猜想第三个表述方式,用到了三元组(a, b, c)的品质(quality),定义为:

 

例如:

  • q(4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0.46820...
  • q(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1.426565...

一般的互质正整数的三元组,通常有 rad(abc) > c,因此q(a, b, c) < 1。q大于1的情况较少出现。

abc猜想(三)

对于任何 ,只存在有限个互质正整数的三元组(a, b, c),c = a + b,使得
 

abc猜想中的ε不能去掉,不然命题就不成立。考虑以下例子:

 ,  ,  

这三个正整数互质,且有 。注意到 可被 整除,因此有

 :

因此

 

n趋向无限大时, 也趋向无限大。因此不存在常数C,使得 c < C rad(abc)对所有适合条件的三元组都成立。

可得出的结果

如果abc猜想得证,那么有很多结果可以推导出来。其中一些结果,在abc猜想提出后,已经以其他方法得到证明,一些则仍然为猜想。

理论结果

abc猜想导出cabc的根基的接近线性函数的上界;不过,现在已知的是指数上界。确切结果如下:

  (Stewart & Tijdeman 1986),
  (Stewart & Yu 1991),
  (Stewart & Yu 2001).

上述的上界中,K1是不依赖a, b, c的常数,而K2K3是(以可有效计算的方式)依赖于ε的常数,但不依赖于a, b, c。上述的上界对c > 2的三元组都成立。

计算结果

2006年,荷兰的莱顿大学数学系与Kennislink科学研究所合作,开展ABC@Home计划。这个计划是网格计算系统,目的在找出更多的正整数三元组a, b, c使得rad(abc) < c。虽然有无限个例子或反例不能解决abc猜想,但是期望借着这个计划发现的三元组的模式,可以得出对这个猜想以至于数论的新的洞见。

下述的q是上节定义的品质

符合q > 1的三元组分布[4]
  q > 1 q > 1.05 q > 1.1 q > 1.2 q > 1.3 q > 1.4
c < 102 6 4 4 2 0 0
c < 103 31 17 14 8 3 1
c < 104 120 74 50 22 8 3
c < 105 418 240 152 51 13 6
c < 106 1,268 667 379 102 29 11
c < 107 3,499 1,669 856 210 60 17
c < 108 8,987 3,869 1,801 384 98 25
c < 109 22,316 8,742 3,693 706 144 34
c < 1010 51,677 18,233 7,035 1,159 218 51
c < 1011 116,978 37,612 13,266 1,947 327 64
c < 1012 252,856 73,714 23,773 3,028 455 74
c < 1013 528,275 139,762 41,438 4,519 599 84
c < 1014 1,075,319 258,168 70,047 6,665 769 98
c < 1015 2,131,671 463,446 115,041 9,497 998 112
c < 1016 4,119,410 812,499 184,727 13,118 1,232 126
c < 1017 7,801,334 1,396,909 290,965 17,890 1,530 143
c < 1018 14,482,065 2,352,105 449,194 24,013 1,843 160

截至2014年4月 (2014-04),ABC@Home找出 2380 万个三元组,现今目标在找出c不大于263的所有三元组(a,b,c)。[5]

已知之中最高品质的三元组[6]
  q a b c 发现者
1 1.6299 2 310·109 235 Eric Reyssat
2 1.6260 112 32·56·73 221·23 Benne de Weger
3 1.6235 19·1307 7·292·318 28·322·54 Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski
4 1.5808 283 511·132 28·38·173 Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj
5 1.5679 1 2·37 54·7 Benne de Weger

历史

1996年,艾伦·贝克(Alan Baker)提出一个较为精确的猜想,将  取代,在此  的不同质因数的数目。

2007年,吕西安·施皮罗尝试给出证明,后来被发现有错误。[7]

2012年8月,日本京都大学数学家望月新一发表长约五百页的abc猜想的证明,以他建立的宇宙际泰赫米勒理论(inter-universal Teichmüller theory)为基础[8][9][10]。该证明目前正由其他数学专家检查中。[11]当Vesselin Dimitrov和阿克沙伊·文卡泰什在2012年10月发现一处错误时,望月新一在他的网站确认了此错误,并声称这个错误能够在近期修补,不会影响最后的结果[12]。2012年12月,望月新一在自己主页贴出了自己对所有四篇文章的修改稿。主要包含27条重要的修改。2012年12月-2013年2月,他又屡次对文章进行了修订,新修正了18处错误,当中很多也是打字错误[13]。望月新一在网上公开了2013年[14]以及2014年[15]的检验进度报告。2018年8月,皮特·舒尔策Jakob Stix英语Jakob Stix指出,望月新一的证明论文中 Corollary 3.12 证明结尾的一行推理存在无法修复的缺陷。[16]望月认为二者的批评存在“某种根本上的误解”。[17]

参见

参考文献

引用

  1. ^ 存档副本 (PDF). [2014-09-29]. (原始内容 (PDF)存档于2009-02-05). 
  2. ^ Mollin (2009)
  3. ^ Mollin (2010) p.297
  4. ^ Synthese resultaten, RekenMeeMetABC.nl, [October 3, 2012], (原始内容存档于2008年12月22日)  (荷兰文).
  5. ^ Data collected sofar, ABC@Home, [April 30, 2014], (原始内容存档于2014年5月15日) 
  6. ^ 100 unbeaten triples. Reken mee met ABC. 2010-11-07 [2014-10-28]. (原始内容存档于2014-10-25). 
  7. ^ "Finiteness Theorems for Dynamical Systems", Lucien Szpiro, talk at Conference on L-functions and Automorphic Forms (on the occasion of Dorian Goldfeld's 60th Birthday), Columbia University, May 2007. See Woit, Peter, Proof of the abc Conjecture?, Not Even Wrong, May 26, 2007 [2014-10-28], (原始内容存档于2014-10-28) .
  8. ^ Mochizuki, Shinichi. Inter-Universal Teichmüller Theory IV: Log-Volume Computations and Set-Theoretic Foundations (PDF). Working Paper. August 2012 [2012-09-20]. (原始内容 (PDF)存档于2016-12-28). 
  9. ^ Ball, Phillip, Proof claimed for deep connection between primes, Nature, 10 September 2012 [2012-09-12], (原始内容存档于2012-09-12) .
  10. ^ Cipra, Barry, ABC Proof Could Be Mathematical Jackpot, Science, September 12, 2012 [2012年9月20日], (原始内容存档于2012年9月16日) .
  11. ^ Proof claimed for deep connection between primes. [2012-09-12]. (原始内容存档于2012-09-12). 
  12. ^ Kevin Hartnett. An ABC proof too tough even for mathematicians. Boston Globe. 3 November 2012 [2013-03-30]. (原始内容存档于2013-03-26). 
  13. ^ 宇宙几何学家望月新一与ABC猜想 (故事续集). [2013-06-15]. (原始内容存档于2014-08-22). 
  14. ^ On the verification of the inter-universal Teichmüller theory: a progress report (as of December 2013) (PDF). [2014-09-29]. (原始内容存档 (PDF)于2014-09-13). 
  15. ^ 存档副本 (PDF). [2015-01-17]. (原始内容存档 (PDF)于2015-01-22). 
  16. ^ 望月新一的 ABC 猜想证明被认为存在无法修复的漏洞. www.solidot.org. [2018-10-10]. (原始内容存档于2018-10-11). 
  17. ^ ABC猜想证明或有误 黎曼假设或被证明. www.solidot.org. [2018-10-10]. (原始内容存档于2018-10-11). 

来源

外部链接