讨论:平方数

除了100的倍数的平方，平方数有无可能末4位数以上连续相同？

如题。末3位数连续相同是有可能的，例如38²=1444，那么除了平凡解以外，末4位数连续相同有无可能呢？末5位数连续相同呢？末6位数连续相同呢？

这等于问，平方数是否能以4444或44444或444444结尾。

2538²=6441444这种是不算的，因为并没有连续。-游蛇脱壳/克劳棣 2016年9月5日 (一) 12:53 (UTC)

悉题，先从平方数的最后一位看起。

一个平方数的结尾除了0以外，有1（1,9），4(2,8)，9(3,7)，6(4,6)，5(5)。

以1为结尾的平方数，十位必为偶数。

以9为结尾的平方数，十位必为偶数。

以5为结尾的平方数，十位必为2。

以6为结尾的平方数，十位必为奇数。

上方四种情况均不会出现大于4位最后数字相同的情况，即排除1111,9999,5555,6666以及更多连接的可能性。

以4为结尾的平方数，其构成x * 10000 + 4444的形式= 2^2 * (x * 2500 + 1111)，若其为平方数，则x * 2500 + 1111也必须为平方数。

见上，因为11结尾的数字不是平方数，故以4为结尾的平方数不会出现4位以上连续的可能性。

至此，排除法完毕，仅余平凡解即0000。

以上。 Innocentius（留言） 2016年9月5日 (一) 16:15 (UTC)

谢谢！已将结论新增至平方数。-游蛇脱壳/克劳棣 2016年9月6日 (二) 14:42 (UTC)

WP:OR？--Antigng（留言） 2016年9月7日 (三) 02:11 (UTC)

事实是这样，不算原创研究，就好像13的平方是169，是计算的一种。-游蛇脱壳/克劳棣 2016年9月7日 (三) 07:38 (UTC)

说是这样说，还是找到了一个来源(见"重复的字尾/例题一/一个正整数的平方(即完全平方数)的字尾最多可以重复多少个不是0的数字?"段落)，不过我还是觉得本讨论的证明比较好：浅显，且利用了条目已提过的性质(以1为结尾的平方数，十位必为偶数。以9为结尾的平方数，十位必为偶数。......)。-游蛇脱壳/克劳棣 2016年9月7日 (三) 08:20 (UTC)

平方数的"性质"条目修正叙述

编辑请求 2019-07-27

请求已拒绝-- 娜娜奇🐰鲜果茶☕（☎️·☘️） 2019年7月27日 (六) 10:37 (UTC)

将除了0跟1之外，4900是唯一的一个平方数，她刚好等于前几个平方数的和。改成除了0跟1之外，4900是唯一一个等于“从1开始的连续正整数平方和”之平方数。意即 $70^{2}=\sum _{k=1}^{24}k^{2}$。

已确认 $70^{2}=\sum _{k=1}^{24}k^{2}$，但未确认4900是否符合叙述中的唯一性。--Hyman2930（留言） 2019年7月27日 (六) 09:15 (UTC)

• (：)回应根据
  1. G. N. Watson, The problem of the square pyramid, Messenger of Mathematics 48 (1918), pp. 1-22.
  2. Gardner, M. Fractal Music, Hypercards and More--: Mathematical Recreations from Scientific American Magazine (PDF). Recreational mathematics. W.H. Freeman. 1992: p.293. ISBN 9780716721895. LCCN 91017066.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

  4900可能是唯一，但目前尚未查到证明，因此我会再加挂查证请求。另一方面由于@Hyman2930：您提议的修改后半句比较像是在介绍70的平方，因此加入到了70这个条目中了。-- 娜娜奇🐰鲜果茶☕（☎️·☘️） 2019年7月27日 (六) 10:37 (UTC)

  • 参阅 https://t.me/wikipedia_zh_n/720674 不适合收录。-- 娜娜奇🐰鲜果茶☕（☎️·☘️） 2019年7月27日 (六) 11:28 (UTC)

这等于求不定方程k(k+1)(2k+1)/6=n²的非负整数解，用Excel算了一下，k≤7000时，(k,n)只有(0.0), (1,1), (24,70)三组解，我会再多试一点。-游蛇脱壳/克劳棣 2019年7月27日 (六) 11:49 (UTC)

k≤12000时依然只有三解，但发现1^2+2^2+3^2+......+7639^2非常接近385511^2，以及1^2+2^2+3^2+......+10566^2非常接近6270991^2，也算是一点小收获。-游蛇脱壳/克劳棣 2019年7月27日 (六) 12:28 (UTC)

• 四角锥数$P\left(n\right)=\sum _{k=1}^{n}k^{2}$，平方数$T\left(m\right)=m^{2}$

  列出丢番图方程有：

  $T\left(m\right)=P\left(n\right)$

  $m^{2}=\sum _{k=1}^{n}k^{2}$

  $m^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

  对右式观察得知，当且仅当$n(n+1)(2n+1)$为$6$之倍数时方有整数解。

  特别地，对各个乘数$n$、$(n+1)$、$(2n+1)$进行关于$3$的倍数之讨论。

  可知：

  • 当$n$为3之倍数时，有$n=3k$
  • 当$(n+1)$为3之倍数时，有$n=3k+2$
  • 当$(2n+1)$为3之倍数时，有$n=3k+1$；（$2(3k+1)+1=6k+3$为3之倍数。

  故，无论如何$n$、$(n+1)$、$(2n+1)$中之一必定为3之倍数，且其他因数必须为平方数，

  • 因此对于满足条件有六种：
    1. ：$n=3a^{2},\,n+1=2b^{2},\,2n+1=c^{2}$
    2. ：$n=2a^{2},\,n+1=3b^{2},\,2n+1=c^{2}$
    3. ：$n=2a^{2},\,n+1=b^{2},\,2n+1=3c^{2}$
    4. ：$n=2a^{2},\,n+1=6b^{2},\,2n+1=c^{2}$
    5. ：$n=6a^{2},\,n+1=b^{2},\,2n+1=c^{2}$
    6. ：$n=a^{2},\,n+1=2b^{2},\,2n+1=3c^{2}$

  但，当$2b^{2}$以3除时仅可能存在余数0或2，代入发生矛盾。

  同理前4个公式均如此。

  解第五个公式时，得到特殊解$n=24$，并且$n=6a^{2}\,$、$n+1=b^{2}\,$、$2n+1=c^{2}$只有奇数c满足$(c-1)(c+1)=12a^{2}$，也就是说，存在有整数d和e满足${\frac {1}{2}}(c-1)=d^{2},\,{\frac {1}{2}}(c+1)=3e^{2},\,a=d\,e$或者${\frac {1}{2}}(c-1)=3d^{2},\,{\frac {1}{2}}(c+1)=e^{2},\,a=d\,e$然而，${\frac {1}{2}}(c-1)=d^{2},\,{\frac {1}{2}}(c+1)=3e^{2},\,a=d\,e$会使$(3e^{2}-d^{2})\equiv 1{\pmod {3}}$矛盾。故只能有${\frac {1}{2}}(c-1)=3d^{2},\,{\frac {1}{2}}(c+1)=e^{2},\,a=d\,e$，使得$c-1=6d^{2},\,c+1=2e^{2}$以及$c^{2}+1=2b^{2},\,c+1=2e^{2}$，对于该方程，$c=7$和$c=1$是唯一解。当$c=1$时会有$n=0$排除。$c=7$时则有$n=24$。为证明该解的特殊，有$y^{2}=8x^{2}+1$得到解对$(0,\,1)\,,\quad$ $(0,\,-1)\,,\quad$ $(1,\,3)\,,\quad$ $(1,\,-3)\,,\quad$ $(-1,\,3)\,,\quad$ $(-1,\,-3)$。对于第六种相对复杂，需要非平凡解的证明，引入椭圆函数。首先将原方程变形$2b^{2}-a^{2}=1,\,2b^{2}+a^{2}=3c^{2}$为解决该问题，可寻求已知一普遍问题$2X^{2}-Y^{2}=Z^{2},\,2X^{2}+Y^{2}=3W^{2}$两个椭圆方程。为求解，必须有${\frac {Z}{W}}=(-1)^{r}sd\left((2r+1)\beta \right){\sqrt {\frac {3}{2}}}$其中r为非负数。$sd\left(\beta \right)$为雅可比椭圆函数,不做介绍。解出可以有当$Z=1$时，只有$r=0$满足$X^{2}=Y^{2}=Z^{2}=W^{2}=1$此时仅有$a=1,\,n=1$。

此为根据俄文内容翻译而成，准确性并不能完全保证，为做参照可以浏览ru:Задача о пушечных ядрах，获得准确内容，来自Watson之证明，作为内容补充亦有ma之证明此处尚未给出。--Rowe Wilson Frederisk Holme（留言） 2019年7月27日 (六) 13:46 (UTC)

• (：)回应@Rowe Wilson Frederisk Holme：已经帮您将数学公式转为LaTeX形式，请协助检查看看有无写错；@克勞棣：协助检视以上证明。（我的专业领域没到那么深入。）-- 娜娜奇🐰鲜果茶☕（☎️·☘️） 2019年7月27日 (六) 17:11 (UTC)

(：)回应：我不明白为什么要写“当且仅当n(n+1)(2n+1)为6之倍数时方有整数解”这句，莫非有“当n(n+1)(2n+1)不为6之倍数”的时候吗？我也看不出“n(n+1)(2n+1)恒为6之倍数”与解此不定方程有何关系。

证明“n、(n+1)、(2n+1)三者必有其一是3的倍数”是“当n为3之倍数.....”、“当(n+1)为3之倍数......”、“当(2n+1)为3的倍数......”这样证的吗？这算是穷举吗？在下认为这根本是先射箭再画靶。所以对于再以下的论证，我只好说“不予置评”。谢谢大家！-游蛇脱壳/克劳棣 2019年7月27日 (六) 18:03 (UTC)

• 嗯，没错，证明是先射箭再画靶，否则是解题行为而不是证明。另外，证明为3之倍数为其一条件，即n、(n+1)、(2n+1)三者必有其一是3的倍数，也就是说要么n是3的倍数，要么(n+1)，要么(2n+1)，所以列出下面6个算式时，必定至少有其一为a=3*k*b^2的形式（其中k为1或2），而2n+1不可能为3的倍数同时亦为2的倍数（不可能为偶数），故2n+1之前只能为1或者3。综上，三个分式中必定会将2、3之因数分配给某一元，但是2不可能同时分配给2n+1，另外，为何需要6作为因数，应该很明显，k/6=m^2，且m为整数，则k/6必定为整数。k只能为6之倍数。另外确实该数必定为6之倍数，此处证明有3为因数是为表明该处6只能以3*2形式分配而已。其实这一步可以不写，但是为了直观写上而已。如果对该过程了解可不必纠缠。--Rowe Wilson Frederisk Holme（留言） 2019年7月27日 (六) 18:29 (UTC)

• (！)意见@Hyman2930：相关争议未解之前，恕无法接受编辑请求。不过奇怪的是相关话题en:Cannonball_problem和ru:Задача о пушечных ядрах都有条目，但所列的多个来源在WP:TG的相关讨论 (请往上翻阅，可使用Web版)中gaenitsuka认为多数来源皆未充分地证明到“4900”的唯一性，想请问user:克劳棣对en:Cannonball_problem和ru:Задача о пушечных ядрах等条目的看法。感谢。另，编辑请求已驳回，若能提供相关证明，可再提出编辑请求。-- 娜娜奇🐰鲜果茶☕（☎️·☘️） 2019年7月27日 (六) 18:24 (UTC)
• @antigng、克勞棣：额外找到一篇文章，该文章给出了避免椭圆方程复杂化的基本证明（英语：Elementary proof）。文章来自于1990年American Mathematical Monthly 97，标题The Square Pyramid Puzzle。内容见此处。--Rowe Wilson Frederisk Holme（留言） 2019年7月27日 (六) 19:40 (UTC)
  • 补充一下，在WP:TG上gaenitsuka建议antigng也加入讨论以便解决问题。-- 娜娜奇🐰鲜果茶☕（☎️·☘️） 2019年7月27日 (六) 19:42 (UTC)

@A2569875：：可惜我英文很苦手，俄文完全不懂，椭圆函数更是只听过、没学过 囧rz……。但我不认为一定要提供有证明的可靠来源，才能把这句话写进去，只要可靠来源说(24,70)是唯一的非平凡解就可以了吧？en:Cannonball_problem#Solution的两条来源是可以用的。不然，可以像奇完全数或当初的费马最后定理一样，限定在某个范围内，(24,70)是唯一的非平凡解，例如k≤15000时，$(k,n)=(24,70)$是${\frac {k(k+1)(2k+1)}{6}}=n^{2}$唯一的正整数非平凡解。-游蛇脱壳/克劳棣 2019年7月28日 (日) 04:16 (UTC)

附带一提，Elementary proof一般是翻译为“初等证明”吧？“基本证明”有点怪.....-游蛇脱壳/克劳棣 2019年7月28日 (日) 04:20 (UTC)

${\sqrt {1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}.......+552057^{2}}}=236818619.0000004307\cdots$，差一点点，连Excel都误判这是一个整数。-游蛇脱壳/克劳棣 2019年8月13日 (二) 09:57 (UTC)