分類
以角度分類
銳角三角形
銳角三角形的所有內角均為銳角。
鈍角三角形
鈍角三角形是其中一角為鈍角的三角形,其餘兩角均小於90°。
直角三角形
有一個角是直角(90°)的三角形為直角三角形。成直角的兩條邊稱為「直角邊」(cathetus),直角所對的邊是「斜邊」(hypotenuse);或最長的邊稱為「弦」,底部的一邊稱作「勾」(又作「句」),另一邊稱為「股」。斜邊乘上斜邊上的高÷2=勾股相乘÷2=此直角三角形面積(ch=ab)
三角函數
直角三角形各邊與角度的關係,可以三角比表示。
以邊長分類
不等邊三角形
三條邊邊長皆不相等的三角形稱為不等邊三角形。
等邊三角形
等邊三角形(又稱正三角形),為三邊相等的三角形。其三個內角相等,均為60°。它是銳角三角形的一種。設其邊長是 ,則其面積公式為 。
等邊三角形是正四面體、正八面體和正二十面體這三個正多面體面的形狀。六個邊長相同的等邊三角形可以拼成一個正六邊形。
三角形的對邊
對邊是指一個角對面的那條邊。比如∠A的對邊就是BC,∠B的對邊就是AC,∠C的對邊就是AB。
對邊測量是全站儀的一種專項測量功能,它可以間接測量兩個不可通視點之間的水平距離。該方法設站靈活,操作簡單,但它的測量精度沒有標註,需要通過計算求得。
等腰三角形
等腰三角形是三條邊中有兩條邊相等(或是其中兩隻內角相等)的三角形。等腰三角形中的兩條相等的邊被稱為「腰」,而另一條邊被稱為「底邊」,兩條腰交叉組成的那個點被稱為「頂點」,它們組成的角被稱為「頂角」。
等邊三角形和等腰直角三角形是等腰三角形的特殊形式。
令其底邊是 ,腰是 ,則其面積公式為
等腰三角形的對應高,角平分線和中線重合。
退化三角形
退化三角形是指面積為零的三角形。滿足下列條件之一的三角形即可稱為退化三角形:三個內角的度數為(180°,0°,0°)或(90°,90°,0°);三邊其中一條邊的長度為0;一條邊的長度等於另外兩條之和。有人認為退化三角形並不能算是三角形,這是由於它介乎於三角不等式之間,在一些資料中已否定了其中一條邊等於其餘兩條邊之和的情況。
勒洛三角形
勒洛三角形(英語:Reuleaux triangle),也譯作萊洛三角形或弧三角形,又被稱為劃粉形或曲邊三角形,是除了圓形以外,最簡單易懂的勒洛多邊形,一個定寬曲線。將一個曲線圖放在兩條平行線中間,使之與這兩平行線相切,則可以做到:無論這個曲線圖如何運動,只要它還是在這兩條平行線內,就始終與這兩條平行線相切。這個定義由十九世紀的德國工程師弗朗茨·勒洛命名。
一般性質
全等及相似
全等三角形
三角形具有穩定性,若二個三角形有以下的邊角關係確定後,它的形狀、大小就不會改變,二個三角形即為全等三角形。全等三角形的判斷準則有以下幾種:
- SSS(Side-Side-Side,邊、邊、邊):各三角形的三條邊的長度都對應地相等。
- SAS(Side-Angle-Side,邊、角、邊):各三角形的其中兩條邊的長度都對應地相等,且兩條邊夾著的角都對應地相等。
- ASA(Angle-Side-Angle,角、邊、角):各三角形的其中兩個角都對應地相等,且兩個角夾著的邊都對應地相等。
- RHS(Right Angle-Hypotenuse-Side,直角、斜邊、邊):在直角三角形中,斜邊及一條直角邊對應地相等。[1][註 1]
- AAS(Angle-Angle-Side,角、角、邊):各三角形的其中兩個角都對應地相等,且其中一組對應角的對邊也對應地相等。
SSA(Side-Side-Angle、邊、邊、角)不能保證兩個三角形全等,除非該角大於等於90°,此時可以保證全等。[2]:34[3]
相似三角形
- AA(Angle-Angle,角、角):各三角形的其中兩個角的都對應地相等。(或稱AAA(Angle-Angle-Angle,角、角、角))
- 三邊成比例(3 sides proportional):各三角形的三條邊的長度都成同一比例。
- 兩邊成比例且夾角相等(ratio of 2 sides, inc.∠):各三角形的兩條邊之長度都成同一比例,且兩條邊之夾角都對應地相等。(或稱 2 sides proportional, inc. ∠ equal)
特殊線段
三角形的心
三角形的內心(Incenter) 、外心(Circumcenter)、垂心(Orthocenter) 及形心(Centroid)稱為三角形的四心,定義如下:
關於三角形的四心,有這樣的一首詩:
“
|
內心全靠角平分,
外心中點垂線伸,
垂心垂直畫三高,
形心角連線中心。
|
”
|
垂心(藍)、形心(黃)和外心(綠)能連成一線,且成比例1:2,稱為歐拉線,與九點圓的圓心(紅)四點共線,為垂心和形心線段的中點。
連同以下的旁心,合稱為三角形的五心:
外接圓和內切圓半徑
面積
基本公式
三角形的面積 是底邊 與高 乘積的一半,即:
- ,
其中的高是指底邊與對角的垂直距離。
證明
從右圖可知,將兩個全等三角形相拼,可得一平行四邊形。而將該平行四邊形分割填補,正好能得到一個面積等於 的長方形。因此原來的三角形面積為
- 。
證畢。
已知兩邊及其夾角
設 為已知的兩邊, 為該兩邊的夾角,則三角形面積是:
- 。
證明
觀察右圖,根據正弦的定義:
- 。
因此:
- 。
將此式代入基本公式,可得:
- 。
證畢。
已知兩角及其夾邊
、 為已知的兩角, 為該兩角的夾邊,則三角形面積是:
- 。
證明
從正弦定理可知:
-
代入 ,得:
- 。
注意到 ,因此:
-
證畢。
已知三邊長
海倫公式,其表示形式為:
- ,
其中 等於三角形的半周長,即:
-
秦九韶亦求過類似的公式,稱為三斜求積法:
-
也有用冪和來表示的公式:
- [註 2]
證明
將海倫公式略為變形,知
-
多次使用平方差公式,得
-
等號兩邊開根號,再同除以4,得
-
亦可用Cayley–Menger行列式表示的公式:
-
基於海倫公式在三角形擁有非常小的角度時並不數值穩定,有一個變化的計法。設 ,三角形面積為:
- 。
由 、 及 三個頂點構成的三角形,其面積可用行列式的絕對值表示:
-
證明
無論三角形的頂點位置如何,該三角形總可以用一個直角梯形(或矩形)和兩個直角三角形面積的和差來表示,而在直角坐標系中,已知直角梯形(或矩形)和直角三角形的頂點的坐標,該三角形的面積容易求出,即用上述的行列式表示。
若三個頂點設在三維坐標繫上,即由 、 及 三個頂點構成三角形,其面積等於各自在主平面上投影面積的畢氏和,即:
-
已知周界及內切圓或外接圓半徑
設三角形三邊邊長分別為 、 及 ,三角形半周長( )為 ,內切圓半徑為 ,則:
-
若設外接圓半徑為 ,則:
-
證明
內切圓半徑公式
根據右圖,設 , , ,則三角形面積可表示為:
-
外接圓半徑公式
根據正弦定理:
-
因此:
-
已知兩邊向量
設從一角出發,引出兩邊的向量為 及 ,三角形的面積為:
-
證明
根據向量積定義, ,
其中 是兩支向量的夾角。
因此:
-
證畢。
半角定理
在三角形 中,三個角的半角的正切和三邊有如下關係:
-
其他有關三角形的定理
註釋
參考資料
參看