代數整數

各式各樣的
基本

延伸
其他

圓周率
自然對數的底
虛數單位
無限大

數學裡,代數整數algebraic integer)是複數中的一類。一個複數α是代數整數若且唯若它是某個個系數的首一多項式的根。其中首一(英文:monic)意謂最高次項的系數是1。

因此,所有代數整數都是代數數,但並非所有代數數都是代數整數。所有代數整數構成一個環,通常記作

如果是整係數本原多項式(即系數的最大公因數是1的多項式),但非首一多項式,則的根都不是代數整數。

定義

以下是代數整數四種相互等價的定義。設K代數數域有理數 有限擴張)。根據本原元定理K可以寫成 的形式。其中 是某個代數數。設有 ,則α是代數整數若且唯若以下命題之一成立:

  1. 存在整係數多項式: ,使得 
  2. α 上的極小首一多項式是整係數多項式。
  3.  是有限生成的 -
  4. 存在有限生成的 -子模: ,使得 

例子

  • 有理數 中的代數整數就是整數。換句話說,  交集是整數環 。這可以用整係數多項式的一個簡單性質證明。如果一個整係數多項式
 
有一個根是有理數: ,其中pq互素的整數,那麼必然有:分母q 整除 ,以及分子p 整除 。因此,由於代數整數是某個首一多項式的根,如果它是有理數,那麼它的分母整除多項式的最高次項,也就是說整除1。所以這個有理數的分母是1,即是說它是整數。反過來,所有的整數n都是整係數首一多項式 的根,所以是代數整數。
  • 一個給定的代數數域  的交集稱為這個數域的(代數)整數環,記作 。這個整數環中的代數整數不再只是整數。比如說,給定一個數域: ,那麼對應的整數環中不僅有整數,還有 ,因為 是首一多項式 的根。
  •  不是代數整數。這是因為 在有理數域上的最小多項式 ,不是一個首一多項式。
  •  是一個代數整數。它是多項式 的根。一般來說,如果整數 除以4餘1,那麼 也是代數整數,因為它是多項式 的根。
  • 給定素數pp單位根 也是一個代數整數,因為是首一多項式 的根。實際上,p分圓域 的整數環就是 

性質

  • 兩個代數整數的和是一個代數整數,他們的差及積也是。這時它們滿足的首一多項式可以用結式表達;但他們的商就不一定是代數整數。
  • 一個以代數整數為系數的首一多項式的根也是代數整數。換句話說,代數整數構成一個,並且在任何代數擴張下是整閉的。
  • 任何從整數出發,透過和、積與開方得到的數都是代數整數,但並非所有代數整數都可依此構造,例如,大多數的五次代數整數都無法透過這種方式構造。
  • 代數整數是裴蜀整環

參見

參考來源

  • Daniel A. Marcus, Number Fields(數域), third edition, Springer-Verlag, 1977