定理的原始形式是劉維爾於1853年針對
R
2
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}
辛結構 的函數證明的。阿諾德在1974年出版的教科書《經典力學的數學方法》中給出了到辛流形 的推廣。
令
(
M
2
n
,
ω
)
{\displaystyle (M^{2n},\omega )}
2
n
{\displaystyle 2n}
ω
{\displaystyle \omega }
M
2
n
{\displaystyle M^{2n}}
M
2
n
{\displaystyle M^{2n}}
n 個函數組成的集合，記作
F
=
(
F
1
,
⋯
,
F
n
)
{\displaystyle F=(F_{1},\cdots ,F_{n})}
（一般）線性獨立：稠密集上
d
F
1
∧
⋯
∧
d
F
n
≠
0
{\displaystyle dF_{1}\wedge \cdots \wedge dF_{n}\neq 0}
相互泊松交換：泊松括號
(
F
i
,
F
j
)
{\displaystyle (F_{i},F_{j})}
i
,
j
{\displaystyle i,j}
泊松括號是每個
F
i
{\displaystyle F_{i}}
哈密頓向量場 的李氏括號 。簡單說，若
X
H
{\displaystyle X_{H}}
H
:
M
2
n
→
R
{\displaystyle H:M^{2n}\rightarrow \mathbb {R} }
F
,
G
{\displaystyle F,G}
(
F
,
G
)
=
[
X
F
,
X
G
]
{\displaystyle (F,G)=[X_{F},X_{G}]}
若
d
f
1
∧
⋯
∧
d
f
n
(
p
)
≠
0
{\displaystyle df_{1}\wedge \cdots \wedge df_{n}(p)\neq 0}
p 是正則點（regular point）。
可積系統定義了函數
F
:
M
2
n
→
R
n
{\displaystyle F:M^{2n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}
L
c
{\displaystyle L_{\mathbf {c} }}
F
i
{\displaystyle F_{i}}
L
c
=
{
x
:
F
i
(
x
)
=
c
i
}
,
{\displaystyle L_{\mathbf {c} }=\{x:F_{i}(x)=c_{i}\},}
L
c
=
F
−
1
(
c
)
{\displaystyle L_{\mathbf {c} }=F^{-1}(\mathbf {c} )}
若給
M
2
n
{\displaystyle M^{2n}}
H 的結構，則當H 可以補全（completed）為可積系統時（即存在可積系統
F
=
(
F
1
=
H
,
F
2
,
⋯
,
F
n
)
{\displaystyle F=(F_{1}=H,F_{2},\cdots ,F_{n})}
(
M
2
n
,
ω
,
H
)
{\displaystyle (M^{2n},\omega ,H)}
若
(
M
2
n
,
ω
,
F
)
{\displaystyle (M^{2n},\omega ,F)}
p 是正則點，則定理描述了正則點的像
c
=
F
(
p
)
{\displaystyle c=F(p)}
L
c
{\displaystyle L_{c}}
L
c
{\displaystyle L_{c}}
H
=
F
1
{\displaystyle H=F_{1}}
若
L
c
{\displaystyle L_{c}}
微分同胚 於N-環面
T
n
{\displaystyle T^{n}}
L
c
{\displaystyle L_{c}}
(
θ
1
,
⋯
,
θ
n
,
ω
1
,
⋯
,
ω
n
)
{\displaystyle (\theta _{1},\cdots ,\theta _{n},\omega _{1},\cdots ,\omega _{n})}
ω
i
{\displaystyle \omega _{i}}
θ
˙
i
:=
(
H
,
θ
i
)
=
ω
i
{\displaystyle {\dot {\theta }}_{i}:=(H,\theta _{i})=\omega _{i}}
作用量-角度坐標 。
可積的哈密頓系統可稱作「劉維爾意義上可積」或「劉維爾可積」。比較知名的例子如下。
一些記號是文獻中的標準符號。考慮的辛流形是
R
2
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}
(
q
1
,
⋯
,
q
n
,
p
1
,
⋯
,
p
n
)
{\displaystyle (q_{1},\cdots ,q_{n},p_{1},\cdots ,p_{n})}
ω
=
∑
i
d
q
i
∧
d
p
i
{\displaystyle \omega =\sum _{i}dq_{i}\wedge dp_{i}}
哈密頓諧振子 ：
(
R
2
n
,
ω
,
H
)
{\displaystyle (\mathbb {R} ^{2n},\omega ,H)}
H
(
q
,
p
)
=
∑
i
(
p
i
2
2
m
+
1
2
m
ω
i
2
q
i
2
)
{\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=\sum _{i}\left({\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{i}^{2}q_{i}^{2}\right)}
H
i
=
p
i
2
2
m
+
1
2
m
ω
i
2
q
i
2
{\displaystyle H_{i}={\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{i}^{2}q_{i}^{2}}
(
H
,
H
1
,
⋯
,
H
n
−
1
)
{\displaystyle (H,H_{1},\cdots ,H_{n-1})}
連心力 系統
(
R
6
,
ω
,
H
)
{\displaystyle (\mathbb {R} ^{6},\omega ,H)}
H
(
q
,
p
)
=
p
2
2
m
−
U
(
q
2
)
{\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}-U(\mathbf {q} ^{2})}
U 是某勢函數。定義角動量
L
=
p
×
q
{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {p} \times \mathbf {q} }
(
H
,
L
2
,
L
3
)
{\displaystyle (H,\mathbf {L} ^{2},L_{3})}
![{\displaystyle (F,G)=[X_{F},X_{G}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3afed1a5642cde7ab592f81f3ca9e5caad30ccf)
. Springer. 1989. ISBN 9780387968902.
