數學中,對稱化是將n元任意函數轉換為n對稱函數的過程。同樣,反對稱化n元任意函數轉換為反對稱函數。

二元

S集合A加法阿貝爾群。映射 ,若滿足以下條件,則稱其為對稱映射  若滿足以下條件,則稱其為反對稱映射 

映射 對稱化是映射  相似地,映射 反對稱化斜對稱化是映射 

映射 的對稱化與反對稱化之和為 因此,若2是可逆元,例如對實數,可以除以2並將每個函數表為對稱函數與反對稱函數之和。

對稱映射的對稱化是它的兩倍,交錯映射的對稱化是0;相似地,對稱映射的反對稱化是0,反對稱映射的反對稱化是它的兩倍。

雙線性形式

雙線性映射的(反)對稱化是雙線性的,因此若2是可逆元,雙線性形式是對稱形式與斜對稱形式之和,對稱形式與二次型之間沒有區別。 2時,並非所有形式都可分解為對稱形式與斜對稱形式。例如,整數上,相關的對稱形式(有理數上)可能取半整數值,而在 上,若且唯若函數是對稱的( ),才是斜對稱的。

這就引出了ε-二次型與ε-對稱形式的概念。

表示論

表示論的術語來說:

  • 交換變量可得對稱群在二元函數空間上的表示。
  • 對稱與反對稱函數是對應於平凡表示與符號表示的子表示
  • 對稱化與飯對稱化將函數映射到子表示中。若除以2,就會產生射影映射。

由於2階對稱群等於2階循環群 ),這相當於2階離散傅立葉變換

n

給定n元函數,可通過求所有變量的 種排列所得值之和實現對稱化[1],通過求所有變量的 偶排列所得值之和減去 奇排列所得值之和實現反對稱化 時唯一的排列是偶的)。

當中,對稱函數的對稱化是原函數乘以 。因此若 可逆,如特徵為0的上時,或 ,則這些函數除以 會產生射影。

就表示論而言,這些只產生與平凡表示和符號表示相對應的子表示,但對於 還有其他表示。

自助法

給定k元函數,對變量的k元素子集求和,可得n元對稱函數。統計學中,這被稱作自助法,相關統計量稱作U-統計量

另見

注釋

  1. ^ Hazewinkel (1990), p. 344

參考文獻