对称函数

数学中,若n函数无论变量顺序如何,值都相同,就称之为对称函数。例如,二元函数,当且仅当f是对称函数。最常见的对称函数类型是多项式函数,由对称多项式给出。 一个相关概念是交错多项式,其在变量互换后只有符号改变。除多项式函数外,作为多个向量的函数的张量也可以是对称的,实际上向量空间V上的对称k-向量空间同构V上的k齐次多项式空间。对称函数同奇函数与偶函数是不同的概念。

对称化

给定任意一个n元函数f,其在阿贝尔群中取值。可对参数的所有排列求和,构造得对称函数。同样,对偶置换求和、再减去奇置换的求和,就可构造出反对称函数。这些运算不可逆,而且很可能使得非平凡的f变为等于0的常数函数。若已知f的对称化与反对称化,则只能恢复二元的f,且阿贝尔群允许除以2(加倍的逆),这时f等于其对称化与反对称化之和的一半。

例子

  • 考虑实值函数   由定义,n元对称函数满足以下性质   一般来说,变量的排列不影响函数值。本例中   以此类推,适用于 的所有排列。
  • 考虑函数  xy互换,函数变为   结果与原 相同。
  • 再考虑函数  xy互换,函数变为   ,这样就和原函数不一样了,因此是非对称函数。

应用

U-统计量

统计学中,对k-样本统计量进行自助的对称化,可得n元对称函数的n样本统计量,称作U-统计量。例子如样本均值样本方差

另见

参考文献

  • F. N. David, M. G. Kendall & D. E. Barton (1966) Symmetric Function and Allied Tables, Cambridge University Press.
  • Joseph P. S. Kung, Gian-Carlo Rota, & Catherine H. Yan (2009) Combinatorics: The Rota Way, §5.1 Symmetric functions, pp 222–5, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-73794-4.