龐加萊度量

數學中，龐加萊度量（Poincaré metric），以昂利·龐加萊命名，描述了一個常負曲率二維曲面的度量張量。它是雙曲幾何和黎曼曲面中廣為使用的自然度量。

在二維雙曲幾何中有三種廣泛使用的等價表述。其中一個是龐加萊半平面模型，在上半平面上定義一個雙曲空間模型。龐加萊圓盤模型在單位圓盤上定義了一個雙曲空間模型。圓盤與上半平面通過一個共形映射聯繫，等距由莫比烏斯變換給出。第三個表述是在穿孔圓盤上，通常表示為與 q-類似（Q-analog）的關係，這種形式不同於前兩種。

黎曼曲面上的度量概要

複平面上的度量可寫成一般形式

$ds^{2}=\lambda ^{2}(z,{\overline {z}})\,dzd{\overline {z}}$

這裡 λ 是 z 與 ${\overline {z}}$ 的一個實正函數。複平面上曲線 γ 的長度為

$l(\gamma )=\int _{\gamma }\lambda (z,{\overline {z}})\,|dz|.$

複平面上子集 M 之面積是

${\mbox{Area}}(M)=\int _{M}\lambda ^{2}(z,{\overline {z}})\,{\frac {i}{2}}dz\wedge d{\overline {z}},$

這裡 $\wedge$ 是用於構造體積形式的外積。度量的行列式等於 $\lambda ^{4}$，故而行列式的平方根是 $\lambda ^{2}$。複平面上的歐幾里得體積形式為 $dx\wedge dy$，從而我們有

$dz\wedge d{\overline {z}}=(dx+i\,dy)\wedge (dx-idy)=-2i\,dx\wedge dy.$

函數 $\Phi (z,{\overline {z}})$ 稱為度量的勢能（potential of the metric），如果

$4{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}\Phi (z,{\overline {z}})=\lambda ^{2}(z,{\overline {z}}).$

拉普拉斯–貝爾特拉米算子為

$\Delta ={\frac {4}{\lambda ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right).$

度量的高斯曲率由

$K=-\Delta \log \lambda ,$

給出，這個曲率是里奇數量曲率的一半。

等距保持角度與弧長。在黎曼曲面上，等距與坐標變換等價：即拉普拉斯-貝爾特拉米算子與曲率在等距下不變。從而，比如設 S 是一個黎曼曲面帶有度量 $\lambda ^{2}(z,{\overline {z}})\,dzd{\overline {z}}$ 而 T 是帶有度量 $\mu ^{2}(w,{\overline {w}})\,dw\,d{\overline {w}}$ 的黎曼曲面，則映射

$f:S\to T\,$

以及 $f=w(z)$ 是等距若且唯若它是共形的以及

$\mu ^{2}(w,{\overline {w}})\;{\frac {\partial w}{\partial z}}{\frac {\partial {\overline {w}}}{\partial {\overline {z}}}}=\lambda ^{2}(z,{\overline {z}}).$

在這裡，映射為共形的也就是條件

$w(z,{\overline {z}})=w(z),$

即

${\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}w(z)=0.$

龐加萊平面上的度量與體積元

龐加萊半平面模型中上半平面 H 的龐加萊度量張量為

$ds^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{y^{2}}}={\frac {dzd{\overline {z}}}{y^{2}}},$

這裡我們記 $dz=dx+i\,dy$。這個度量張量在 SL(2,R) 的作用下不變。這就是，如果我們記

$z'=x'+iy'={\frac {az+b}{cz+d}},$

對 $ad-bc=1$，則我們可算得

$x'={\frac {ac(x^{2}+y^{2})+x(ad+bc)+bd}{|cz+d|^{2}}},$

與

$y'={\frac {y}{|cz+d|^{2}}},$

無窮小變換為

$dz'={\frac {dz}{(cz+d)^{2}}},$

從而

$dz'd{\overline {z}}'={\frac {dz\,d{\overline {z}}}{|cz+d|^{4}}}.$

這樣便清楚地表明度量張量在 SL(2,R) 的作用下不變。

不變體積元素為

$d\mu ={\frac {dx\,dy}{y^{2}}}.$

對 $z_{1},z_{2}\in \mathbb {H}$ 度量為

$\rho (z_{1},z_{2})=2\tanh ^{-1}{\frac {|z_{1}-z_{2}|}{|z_{1}-{\overline {z_{2}}}|}},$

$\rho (z_{1},z_{2})=\log {\frac {|z_{1}-{\overline {z_{2}}}|+|z_{1}-z_{2}|}{|z_{1}-{\overline {z_{2}}}|-|z_{1}-z_{2}|}}.$

度量的另一個有用的形式是用交比給出。給定緊化複平面 ${\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \infty$ 上任意四點 $z_{1},z_{2},z_{3}$ 與$z_{4}$，交比定義為

$(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})={\frac {(z_{1}-z_{2})(z_{3}-z_{4})}{(z_{2}-z_{3})(z_{4}-z_{1})}}.$

那麼度量用交比表示為

$\rho (z_{1},z_{2})=\ln(z_{1},z_{2}^{\times };z_{2},z_{1}^{\times }).$

這裡 $z_{1}^{\times }$ 與 $z_{2}^{\times }$ 是端點，位於實數軸上，測地線連接 $z_{1}$ 與 $z_{2}$。這些點是有順序的故 $z_{1}$ 位於 $z_{1}^{\times }$ 與 $z_{2}$ 之間。

這個度量張量的測地線是在兩個端點處垂直於實軸的圓弧（的一段），即端點位於實軸的上半圓周。

從平面到圓盤的共形映射

上半平面可以共形地映到單位圓盤，用莫比烏斯變換

$w=e^{i\phi }{\frac {z-z_{0}}{z-{\overline {z_{0}}}}},$

這裡單位圓盤上的點 w 對應於上半平面上的點 z。在這個映射中，常數 z₀ 可取上半平面上任何一點；這個點將映為圓盤的中心。實數軸 $\Im z=0$ 映為單位圓盤的邊界 $|w|=1$。實常數 $\phi$ 將圓盤旋轉任意一個角度。

典範映射是

$w={\frac {iz+1}{z+i}}$

將 i 映為圓盤的中心，0 映為圓盤的最低點。

龐加萊圓盤上的度量與體積元素

龐加萊圓盤模型里的龐加萊度量張量在單位圓盤 $U=\{z=x+iy:|z|={\sqrt {(x^{2}+y^{2})}}\leq 1\}$ 上為

$ds^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2}}}={\frac {dz\,d{\overline {z}}}{(1-|z|^{2})^{2}}}.$

體積形式為

$d\mu ={\frac {dx\,dy}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2}}}={\frac {dx\,dy}{(1-|z|^{2})^{2}}}.$

對 $z_{1},z_{2}\in U$ 的龐加萊度量為

$\rho (z_{1},z_{2})=2\tanh ^{-1}\left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{1-z_{1}{\overline {z_{2}}}}}\right|.$

這個度量張量的測地線是在端點處正交於圓盤邊界的圓弧。

穿孔圓盤模型

穿孔圓盤坐標上的 J-不變量（J-invariant）；這是 nome 的一個函數。

龐加萊圓盤坐標上的 J-不變量；注意這個圓盤比文中給出的典範坐標旋轉了90度。

第二個將上半平面映成圓盤是 q-映射：

$q=exp(i\pi \tau )$

這裡 q 是 nome（Nome），$\tau$ 是半周期比例（half-period ratio）。在上一節的記號中，$\tau$ 是上半平面 $\Im \tau >0$ 的坐標。這個映射映到穿孔圓盤，因為值 q=0 不在映射的像中。

上半平面的龐加萊度量在 q-圓盤上誘導一個度量

$ds^{2}={\frac {4}{|q|^{2}(\log |q|^{2})^{2}}}dqd{\overline {q}},$

度量的勢能是

$\Phi (q,{\overline {q}})=4\log \log |q|^{-2}.$

施瓦茨引理

龐加萊度量在調和函數上距離減小。這是施瓦茨引理的一個推廣，稱為施瓦茨-阿爾福斯-皮克定理（Schwarz-Alhfors-Pick theorem）。

另見

• 富克斯群（Fuchsian group）
• 富克斯模型（Fuchsian model）
• 克萊因群
• 克萊因模型
• 龐加萊圓盤模型
• 龐加萊半平面模型
• 本原測地線（Prime geodesic）
• 施瓦茨-阿爾福斯-皮克定理

引用

• Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4.
• Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X (See Section 2.3).
• Svetlana Katok, Fuchsian Groups (1992), University of Chicago Press, Chicago ISBN 0-226-42583-5 (Provides a simple, easily readable introduction.)