數學中,標架叢Frame bundle)是一個與任何向量叢 E 相伴主叢。F(E) 在一點 x 的纖維是 Ex 的所有有序基或曰標架。一般線性群通過基變更自然作用在 F(E) 上,給出標架叢一個主 GLk(R)-叢結構,這裡 kE 的秩。

一個光滑流形的標架叢是與其切叢相伴的叢。因此它有經常稱為切標架叢tangent frame bundle)。

定義與構造

EX拓撲空間 X 上一個 k 階實向量叢。在點 xX 的一個標架是向量空間 Ex 的一個有序基。等價地,一個標架可以視為線性同構

 

x 的所有標架集合,記作 Fx,所有可逆 k×k 矩陣組成的一般線性群 GLk(R) 在它上面有一個自然右作用:一個群元素 g ∈ GLk(R) 通過複合作用在 p 的標架上給出一個新標架

 

GLk(R) 在 Fx 上這個作用是自由傳遞的(這是標準線性代數結論:存在惟一可逆線性變換將一個基變為另一個)。作為一個拓撲空間 Fx 同胚於 GLk(R),但它沒有群結構,因為沒有「優先的標架」。空間 Fx 稱為一個 GLk(R)-torsor

E標架叢,記作 F(E) 或 FGL(E),是所有 Fx 的不交並:

 

F(E) 中每個點是一個二元組 (x, p),其中 xX 中一點而 px 處一個標架。存在自然投影 π : F(E) → X 將 (x, p) 送到 x。群 GLk(R) 如上右作用在 F(E) 上。這個作用顯然是自由的且軌道恰是 π 的纖維。

標架叢 F(E) 可給一個自然的拓撲,其叢結構由 E 確定。設 (Ui, φi) 是 E 的一個局部平凡化。則對每個 xUi 有一個線性同構 φi,x : ExRk。這個數據決定了一個雙射

 

由下式給出

 

有了這個雙射後,每個 π−1(Ui) 可賦予 Ui × GLk(R) 的拓撲。則 F(E) 上的拓撲是由包含映射 π−1(Ui) → F(E) 余誘導的最終拓撲

有了上面所有數據後,標架叢 F(E) 成為 X 上一個結構群為 GLk(R) 的主纖維叢,具有局部平凡化 ({Ui}, {ψi}),可以驗證 F(E) 的轉移函數E 的相同。

上面所有工作對光滑範疇也成立:如果 E 是光滑流形 M 上一個光滑向量叢,則 E 的標架叢可賦予 M 上光滑主叢結構。

相伴向量叢

向量叢 E 與它的標架叢 F(E) 是相伴叢。每一個決定了另一個。標架叢 F(E) 可如上由 E 構造出來,或更抽象地利用纖維叢構造定理英語Fiber bundle construction theorem。在後一個方法中,F(E) 與 E 有同樣底、平凡化鄰域以及轉移函數,但有抽象纖維 GLk(R),這裡結構群 GLk(R) 作用在纖維 GLk(R) 上是左乘。

給定一個線性表示 ρ : GLk(R) → V,有一個向量叢相伴與 F(E)

 

它由乘積 F(E) × V 模去等價關係 (pg,v) ~ (p,ρ(g)v),對所有 g 屬於 GLk(R),給出。記等價類為 [p,v]。

向量叢 E 自然同構於叢 F(E) ×ρ Rk,這裡 ρ 是 GLk(R) 在 Rk 上的基本表示。同構由

 

給出,這裡 vRk 中一個向量而 p : RkExx 處一個標架。容易驗證這個映射是良定義的。

任何相伴與 E 的向量叢可由如上構造給出。例如,E對偶叢由 F(E) ×ρ* (Rk)* 給出,這裡 ρ* 是基本表示的對偶E張量叢可類似地構造。

切標架叢

一個光滑流形 M切標架叢(或簡稱標架叢)是與 M切叢相伴的標架叢。 M 的標架叢通常記作 FM 或 GL(M) 而不是 F(TM)。如果 Mn-維的則切叢的秩為 n,所以 M 的標架叢是 M 上一個主 GLn(R) 叢。

光滑標架

M 的標架叢的局部截面稱為 M 上的光滑標架。主叢橫截定理說 M 中任何有光滑標架的開集 U 上標架叢是平凡的。給定一個光滑標架 s : U → FU,平凡化 ψ : FUU × GLn(R) 由

 

給出,這裡 px 處一個標架。從而一個流形是可平行化的若且唯若 M 的標架叢有一個整體截面。

因為 M 的切叢在 M 的任何坐標鄰域是可平凡化的,故標架叢也是。事實上,給定任何坐標鄰域 U 帶有坐標 (x1,…,xn),坐標向量場

 

定義了 U 上一個光滑標架。在標架叢上工作的一個好處是它們允許我們處理標架而不是坐標架;我們可選取對手中問題合適的標架。這有時稱為活動標架法

焊接形式

流形 M 的標架叢是一類特殊的主叢,它的幾何本質上繫於 M 的幾何。這種關係可用 FM 上一個稱之為焊接形式(或稱基本重言 1-形式)向量值 1-形式表示。設 x 是流形 M 上一點,px 處一個標架,故

 

RnMx 處切叢的一個線性同構。FM 的焊接形式是一個 Rn-值 1-形式 θ,定義為

 

這裡 ξ 與 FM 相切於 (x,p),p-1:TxM → Rn 是標架映射的逆,dπ 是投影映射 π: FMM微分。焊接形式是水平的,它在與 π 的纖維相切的向量上為零,以及右等變,即

 

這裡 Rg 是由 g ∈ GLn(R) 的左平移。FM 上這樣性質的形式稱為基本或張量性形式。這樣的形式與 TM-值 1-形式一一對應,從而與 M 上光滑叢映射 TMTM 一一對應。這樣看來,θ 恰好是 TM恆等映射

標準正交標架叢

如果向量叢 E 配有一個黎曼叢度量,則每個纖維 Ex 不僅是一個向量空間而且是一個內積空間。這樣便可以討論 Ex 的所有標準正交標架集合。Ex 的一個標準正交標架是 Ex 的一個有序標準正交基,或等價地,一個等距線性同構

 

這裡 Rk 配有標準歐幾里得度量正交群 O(k) 通過右複合自由傳遞作用在所有標準正交標架上。換句話說,所有標準正交標架集合是一個右 O(k)-torsor

E標準正交標架叢,記作 FO(E),是在底空間 X 上每一點 x 處的所有標準正交標架集合。它可用完全類似於通常標架叢的方法構造出來。秩 k 的黎曼向量叢 EX 的標準正交標架是 X 上一個主 O(k)-叢。同樣,此構造在光滑範疇一樣成立。

如果向量叢 E 可定向,則我們可定義 E定向標準正交標架叢,記作 FSO(E),是所有正定向標準正交標架叢,這是一個主 SO(k)-叢。

如果 M 是一個 n-維黎曼流形,則 M 的標準正交標架叢,記作 FOM 或 O(M),是與 M 的切叢(由定義它配有一個黎曼度量)相伴的標準正交標架叢。如果 M 可定向,則也有定向標準正交標架叢 FSOM

給定一個黎曼向量叢 E,標準正交標架叢是一般線性標架叢的 O(k)-子叢。換句話說,包含映射

 

是一個主叢映射。我們說 FO(E) 是 FGL(E) 的結構群從 GLk(R) 到 O(k) 的約化

G-結構

如果光滑流形 M 有額外的結構,通常自然地考慮 M 全標架叢的一個適應於給定結構的子叢。例如,如果 M 是一個黎曼流形,我們從上面看到自然地去考慮 M 的標準正交標架叢。標準正交標架叢只不過是 FGL(M) 的結構群到正交群 O(n) 的約化。

一般地,如果 M 是一個光滑 n-流形,G 是 GLn(R) 的一個子李群,我們定義 M 上一個 G-結構為 FGL(M) 結構群到 G 的一個約化。具體地說,這是 M 上一個主 G-叢 FG(M),以及 M 上一個 G-等變叢映射

 

在這種語言中,M 上一個黎曼度量給出 M 上一個 O(n)-結構。下面是其它一些例子。

  • 每個定向流形有一個定向標架,這就是 M 上一個 GLn+(R)-結構。
  • M 上一個體積形式確定了 M 上一個 SLn(R)-結構。
  • 一個 2n-維辛流形有一個自然的 Sp2n(R)-結構。
  • 一個 2n-維殆複流形有一個自然的 GLn(C)-結構。

在某些例子中,M 上一個 G-結構惟一確定了 M 上對應的結構。例如 M 上一個 SLn(R)-結構確定了 M 上一個體積形式。但是,在某些情形,比如辛與複流形,需要一個可積性條件M 上一個 Sp2n(R)-結構惟一確定了 M 上一個非退化 2-形式,但對 M 是辛的,這個 2-形式必須也是的。

參考文獻