狄利克雷逼近定理

狄利克雷逼近定理（英語：Dirichlet's approximation theorem）是數論中關於丟番圖逼近的一個定理。該定理可表述為：對於任意實數$\alpha$和$N$ （$1\leq N$），都存在整數$p$和$q$，滿足$1\leq q\leq N$以及

$\left|q\alpha -p\right|\leq {\frac {1}{[N]+1}}<{\frac {1}{N}}.$

其中$[N]$表示$N$的整數部分。這是丟番圖逼近的一個重要結果，表明任意實數都存在一系列良好的有理近似：事實上，該定理的一個直接結果是對於給定的無理數$\alpha$，存在無窮多個整數$p$和$q$滿足不等式

$\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}.$

狄利克雷逼近定理可由鴿籠原理證明。

參考文獻

• Schmidt, Wolfgang M. Diophantine approximation. Lecture Notes in Mathematics 785. Springer. 1980. ISBN 978-3-540-38645-2. doi:10.1007/978-3-540-38645-2. 
• Schmidt, Wolfgang M. Diophantine Approximations and Diophantine Equations. Lecture Notes in Mathematics book series 1467. Springer. 1991. ISBN 978-3-540-47374-9. doi:10.1007/BFb0098246.