球諧函數是拉普拉斯方程式的球坐標系形式解的角度部分。在古典場論、量子力學等領域廣泛應用。
球坐標下的拉普拉斯方程式:
利用分離變量法，設定 f ( r , θ , φ ) = R ( r ) Y ( θ , φ ) = R ( r ) Θ ( θ ) Φ ( φ ) {\displaystyle f(r,\ \theta ,\ \varphi )=R(r)Y(\theta ,\ \varphi )=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\varphi )} 。其中 Y ( θ , φ ) {\displaystyle Y(\theta ,\ \varphi )} 代表角度部分的解，也就是球諧函數。
代入拉普拉斯方程式，得到：
分離變量後得：
這裡， Φ {\displaystyle \Phi } 是一個以 2 π {\displaystyle 2\pi } 為週期的函數，即滿足週期性邊界條件 Φ ( φ ) = Φ ( φ + 2 π ) {\displaystyle \Phi (\varphi )=\Phi (\varphi +2\pi )} ，因此 m {\displaystyle m} 必須為整數。而且可以解出：
而對於 Θ {\displaystyle \Theta } 的方程式，進行變量替換 t = cos θ {\displaystyle t=\cos \theta } ， d t = − sin θ d θ {\displaystyle dt=-\sin \theta d\theta } ， | t | ⩽ 1 {\displaystyle |t|\leqslant 1} ，得到關於 t {\displaystyle t} 的伴隨勒讓德方程式。方程式的解應滿足在 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} 區間上取有限值，此時必須有 λ = l ( l + 1 ) {\displaystyle \lambda =l(l+1)} ，其中 l {\displaystyle l} 為自然數，且 l ⩾ | m | {\displaystyle l\geqslant |m|} 。對應方程式的解為 P ℓ m ( t ) {\displaystyle P_{\ell }^{m}(t)} 。即可以解出：
故球諧函數可以表達為：
其中N 是歸一化因子。
經過歸一化後，球諧函數表達為：
這裡的 Y ℓ m {\displaystyle Y_{\ell }^{m}\,\!} 稱為 ℓ {\displaystyle \ell \,\!} 和 m {\displaystyle m\,\!} 的球諧函數。以上推導過程中， i {\displaystyle i\,\!} 是虛數單位， P ℓ m {\displaystyle P_{\ell }^{m}\,\!} 是伴隨勒讓德多項式 。
其中 P ℓ m ( x ) {\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)\,\!} 用方程式定義為：
而 P ℓ ( x ) {\displaystyle P_{\ell }(x)\,\!} 是 l {\displaystyle l} 階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為：
l = 0 {\displaystyle l=0}
l = 1 {\displaystyle l=1}
l = 2 {\displaystyle l=2}
![{\displaystyle [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
