球谐函数是拉普拉斯方程的球坐标系形式解的角度部分。在古典場論、量子力学等领域广泛应用。
球坐标下的拉普拉斯方程式:
利用分离变量法，设定 f ( r , θ , φ ) = R ( r ) Y ( θ , φ ) = R ( r ) Θ ( θ ) Φ ( φ ) {\displaystyle f(r,\ \theta ,\ \varphi )=R(r)Y(\theta ,\ \varphi )=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\varphi )} 。其中 Y ( θ , φ ) {\displaystyle Y(\theta ,\ \varphi )} 代表角度部分的解，也就是球谐函数。
代入拉普拉斯方程，得到：
分离变量后得：
这里， Φ {\displaystyle \Phi } 是一个以 2 π {\displaystyle 2\pi } 为周期的函数，即满足周期性边界条件 Φ ( φ ) = Φ ( φ + 2 π ) {\displaystyle \Phi (\varphi )=\Phi (\varphi +2\pi )} ，因此 m {\displaystyle m} 必须为整数。而且可以解出：
而对于 Θ {\displaystyle \Theta } 的方程，进行变量替换 t = cos θ {\displaystyle t=\cos \theta } ， d t = − sin θ d θ {\displaystyle dt=-\sin \theta d\theta } ， | t | ⩽ 1 {\displaystyle |t|\leqslant 1} ，得到关于 t {\displaystyle t} 的伴随勒让德方程。方程的解应满足在 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} 区间上取有限值，此时必须有 λ = l ( l + 1 ) {\displaystyle \lambda =l(l+1)} ，其中 l {\displaystyle l} 为自然数，且 l ⩾ | m | {\displaystyle l\geqslant |m|} 。对应方程的解为 P ℓ m ( t ) {\displaystyle P_{\ell }^{m}(t)} 。即可以解出：
故球谐函数可以表达为：
其中N 是归一化因子。
經過歸一化後，球谐函数表達為：
这里的 Y ℓ m {\displaystyle Y_{\ell }^{m}\,\!} 称为 ℓ {\displaystyle \ell \,\!} 和 m {\displaystyle m\,\!} 的球谐函数。以上推导过程中， i {\displaystyle i\,\!} 是虛數單位， P ℓ m {\displaystyle P_{\ell }^{m}\,\!} 是伴随勒让德多项式 。
其中 P ℓ m ( x ) {\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)\,\!} 用方程式定義為：
而 P ℓ ( x ) {\displaystyle P_{\ell }(x)\,\!} 是 l {\displaystyle l} 階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為：
l = 0 {\displaystyle l=0}
l = 1 {\displaystyle l=1}
l = 2 {\displaystyle l=2}
![{\displaystyle [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
